어떤 문제인가
이 문제는 $n$이 무한히 커질 때, 주어진 분수 형태의 수열이 어떤 값에 가까워지는지 구하는 수열의 극한 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **$\infty - \infty$ 꼴의 부정형**: 분모를 보면 $n$이 커질 때 $\sqrt{n^2+n+1}$도 무한히 커지고, $n$도 무한히 커져서 $\infty - \infty$ 형태가 됩니다. 이 상태로는 극한값을 바로 알 수 없습니다.
- 분모의 유리화: 루트($\sqrt{}$)가 포함된 $\infty - \infty$ 꼴은 합차 공식($(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$)을 이용해 유리화를 해줍니다.
- **$\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 극한: 유리화를 하고 나면 분모와 분자가 모두 무한대로 가는 형태가 됩니다. 이때는 분모의 최고차항**으로 분모, 분자를 나누어 극한값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 식의 형태 분석하고 유리화 준비하기
주어진 식의 분모를 보면 $\sqrt{n^2+n+1}-n$ 입니다. $n \to \infty$일 때 이 분모는 $\infty - \infty$ 꼴이 되어 값을 정할 수 없습니다.
분모의 루트를 벗겨내기 위해, 분모와 분자에 분모의 켤레식인 $\sqrt{n^2+n+1}+n$을 곱해줍니다.
$$\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}-n} = \frac{\sqrt{n^2+n+1}+n}{(\sqrt{n^2+n+1}-n)(\sqrt{n^2+n+1}+n)}$$
2단계: 분모 정리하기
이제 분모에 합차 공식 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$을 적용하여 계산해 봅시다.
$$(\sqrt{n^2+n+1}-n)(\sqrt{n^2+n+1}+n) = (n^2+n+1) - n^2 = n+1$$
분모를 정리했더니 아주 깔끔하게 $n+1$이 되었습니다. 따라서 원래 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2+n+1}+n}{n+1}$$
3단계: 분모의 최고차항으로 나누어 극한값 구하기
이제 식은 $n \to \infty$일 때 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴이 되었습니다. 분모의 최고차항은 $n$ (1차)이므로, 분모와 분자를 각각 $n$으로 나누어 줍니다.
이때, 분자의 루트 안으로 $n$이 들어갈 때는 $n^2$이 된다는 점에 주의하세요! ($\frac{\sqrt{A}}{n} = \sqrt{\frac{A}{n^2}}$)
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{n^2+n+1}+n}{n}}{\frac{n+1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}{1+\frac{1}{n}}$$
$n \to \infty$일 때, $\frac{1}{n} \to 0$ 이고 $\frac{1}{n^2} \to 0$ 이 되므로, 식은 다음과 같이 수렴합니다.
$$\frac{\sqrt{1+0+0}+1}{1+0} = \frac{1+1}{1} = 2$$
답
정답은 **② $2$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 유리화 방법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 문제가 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+3n+1}-n}$ 이라면, 이 수열의 극한값은 얼마가 될까요? 직접 공책에 풀이 과정을 적어보며 계산해 보세요.