어떤 문제인가
이 문제는 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선에서 접선의 기울기인 $\frac{dy}{dx}$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법: $x$와 $y$가 각각 $t$에 대한 식으로 나타나 있을 때, $\frac{dy}{dx}$를 구하는 공식인 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ (단, $\frac{dx}{dt} \neq 0$)을 이해합니다.
- 지수함수와 삼각함수의 미분: $e^t$, $\sin t$, $\cos t$를 각각 $t$에 대해 미분할 수 있어야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 매개변수 미분 공식 떠올리기
우리가 구하고자 하는 것은 $\frac{dy}{dx}$입니다. 하지만 $y$가 $x$에 대한 식으로 직접 주어지지 않고, $x$와 $y$가 각각 $t$에 대한 식으로 주어져 있습니다.
이럴 때는 미분의 연쇄법칙(Chain Rule)을 이용하여 다음과 같이 계산합니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
즉, $y$를 $t$로 미분한 것을 $x$를 $t$로 미분한 것으로 나누어 주면 됩니다.
2단계: $x$와 $y$를 각각 $t$에 대해 미분하기
이제 각각의 식을 $t$에 대해 미분해 봅시다.
- $x = e^t + \cos t$ 이므로, $t$에 대해 미분하면:
$$\frac{dx}{dt} = e^t - \sin t$$
*(지수함수 $e^t$는 미분해도 $e^t$이고, $\cos t$를 미분하면 $-\sin t$가 됩니다.)*
- $y = \sin t$ 이므로, $t$에 대해 미분하면:
$$\frac{dy}{dt} = \cos t$$
*($\sin t$를 미분하면 $\cos t$가 됩니다.)*
3단계: $\frac{dy}{dx}$ 식 만들기
위에서 구한 두 식을 공식에 대입하여 $\frac{dy}{dx}$를 $t$에 대한 식으로 나타냅니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{e^t - \sin t}$$
4단계: $t=0$ 대입하여 값 구하기
문제에서 $t=0$일 때의 값을 물었으므로, 위 식에 $t=0$을 대입합니다.
이때 필요한 삼각함수와 지수함수의 값은 다음과 같습니다:
- $e^0 = 1$
- $\sin 0 = 0$
- $\cos 0 = 1$
이 값들을 대입해 볼까요?
$$\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=0} = \frac{\cos 0}{e^0 - \sin 0} = \frac{1}{1 - 0} = 1$$
따라서 $t=0$일 때 $\frac{dy}{dx}$의 값은 $1$입니다.
답
②
확인해보기
오늘 배운 매개변수 미분법을 잘 이해했는지 확인해 봅시다!
> 질문: 만약 같은 곡선 $x = e^t + \cos t, \; y = \sin t$에서 $t = \pi$일 때의 $\frac{dy}{dx}$ 값을 구한다면 그 값은 얼마가 될까요? 직접 식에 대입해서 계산해 보세요. (힌트: $\sin \pi$와 $\cos \pi$의 값을 먼저 떠올려 보세요!)