어떤 문제인가
이 문제는 곡선 밖의 한 점(원점)에서 함수 $y = e^{|x|}$에 그은 두 접선이 이루는 각의 크기를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 절댓값을 포함한 함수의 그래프와 대칭성: $y = e^{|x|}$ 그래프가 $y$축에 대해 대칭(우함수)이라는 성질을 이용하면 계산을 절반으로 줄일 수 있습니다.
- 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식: 접점의 좌표를 임의로 잡고 접선의 방정식을 세운 뒤, 원점 $(0,0)$을 대입해 접점을 찾습니다.
- 두 직선이 이루는 각과 삼각함수의 덧셈정리: 두 직선의 기울기를 알 때, 두 직선이 이루는 예각 $\theta$에 대해 $\tan \theta$를 구하는 공식을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수의 식을 나누고 그래프의 특징 파악하기
함수 $y = e^{|x|}$는 절댓값 기호가 있으므로 $x$의 범위에 따라 식을 나눌 수 있습니다.
- $x \ge 0$ 일 때: $y = e^x$
- $x < 0$ 일 때: $y = e^{-x}$
이 그래프는 $x$ 대신 $-x$를 대입해도 식의 형태가 같으므로, **$y$축에 대하여 대칭**인 모양입니다. 따라서 원점에서 그은 두 접선 역시 $y$축에 대해 서로 대칭인 형태를 띨 것입니다. 즉, 한쪽 접선의 기울기가 $m$이라면, 다른 쪽 접선의 기울기는 $-m$이 됩니다.
2단계: $x > 0$ 영역에서의 접선의 방정식과 기울기 구하기
먼저 $x > 0$ 영역인 곡선 $y = e^x$ 위의 한 접점을 $T(t, e^t)$ ($t > 0$)라고 해봅시다.
- 미분하기: 함수 $y = e^x$를 미분하면 $y' = e^x$입니다. 따라서 접점 $T$에서의 접선의 기울기는 $e^t$가 됩니다.
- 접선의 방정식 세우기: 기울기가 $e^t$이고 점 $(t, e^t)$를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - e^t = e^t(x - t)$$
- 원점 대입하기: 이 접선이 원점 $(0,0)$을 지나므로, $x=0, y=0$을 대입합니다.
$$0 - e^t = e^t(0 - t)$$
$$-e^t = -t \cdot e^t$$
- **접점의 $x$좌표 구하기**: $e^t > 0$이므로 양변을 $e^t$로 나누면,
$$t = 1$$
따라서 $x > 0$ 영역에서의 접점은 $(1, e)$이고, 이때의 접선의 기울기 $m_1$은 다음과 같습니다.
$$m_1 = e^1 = e$$
3단계: 대칭성을 이용하여 다른 접선의 기울기 구하기
앞서 이 그래프는 $y$축 대칭이라고 했습니다.
따라서 $x < 0$ 영역에서 그은 접선은 $x > 0$ 영역의 접선을 $y$축에 대해 대칭이동한 것과 같습니다.
$y$축 대칭이동을 하면 기울기의 부호가 반대로 바뀌므로, 다른 접선의 기울기 $m_2$는 다음과 같습니다.
$$m_2 = -e$$
4단계: 두 접선이 이루는 예각 $\theta$에 대해 $\tan \theta$ 구하기
두 직선의 기울기가 각각 $m_1 = e$, $m_2 = -e$일 때, 두 직선이 이루는 예각 $\theta$에 대한 탄젠트 값은 다음 공식을 사용해 구합니다.
$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$
이 공식에 우리가 구한 기울기를 대입해 봅시다.
$$\tan \theta = \left| \frac{e - (-e)}{1 + e \cdot (-e)} \right| = \left| \frac{2e}{1 - e^2} \right|$$
여기서 자연상수 $e$는 약 $2.718$이므로, 분모인 $1 - e^2$은 음수입니다. 예각에 대한 탄젠트 값은 항상 양수여야 하므로 절댓값을 벗기면서 분모의 부호를 바꾸어 줍니다.
$$\tan \theta = \frac{2e}{e^2 - 1}$$
답
정답은 ④번인 **$\frac{2e}{e^2-1}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다!
> 질문: 두 직선의 기울기가 각각 $m_1 = 2$, $m_2 = -\frac{1}{3}$일 때, 두 직선이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\tan \theta$의 값은 얼마일까요? (위에서 사용한 탄젠트 공식에 대입해 계산해 보세요!)