반갑습니다! 오늘도 선생님과 함께 차근차근 수학 문제를 정복해 봅시다.
이 문제는 도형이 일정한 비율로 작아지며 무한히 반복되는 무한등비급수의 도형 응용 문제입니다. 겁먹지 말고, 필요한 단계를 하나씩 밟아가면 쉽게 풀 수 있어요.
어떤 문제인가
이 문제는 매 단계마다 새로 생기는 부채꼴의 넓이들의 총합, 즉 $\lim_{n \to \infty} S_n$을 구하는 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 부채꼴의 넓이 공식: 반지름이 $r$, 중심각이 $\theta$인 부채꼴의 넓이는 $S = \frac{1}{2}r^2\theta$입니다.
- 삼각형의 사인법칙: 삼각형 $ABC$에서 외접원의 반지름을 제외하고 변과 각의 관계는 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$가 성립합니다.
- 무한등비급수의 합 공식: 첫째항이 $a$이고 공비가 $r$ ($|r| < 1$)인 무한등비급수의 합은 $S = \frac{a}{1-r}$입니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 도형의 넓이(첫째항 $a$) 구하기
가장 먼저 첫 번째 색칠된 부채꼴 $O_1A_1B_1$의 넓이를 구해봅시다. 이 넓이가 바로 우리가 구하고자 하는 등비급수의 **첫째항 $a$**가 됩니다.
- 부채꼴 $O_1A_1B_1$의 반지름 $r_1 = O_1A_1 = 1$입니다.
- 문제에서 중심각 $\angle A_1O_1B_1 = \frac{\pi}{4}$라고 주어졌습니다.
따라서 첫째항 $a$는 다음과 같습니다.
$$a = \frac{1}{2} \times 1^2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$$
2단계: 두 번째 부채꼴의 반지름을 구하기 위한 각도 분석하기
두 번째 부채꼴 $O_2A_2B_2$의 반지름인 선분 $O_2A_2$의 길이를 구해야 합니다. 이를 위해 삼각형 $O_1O_2A_2$의 각도를 분석해 봅시다.
- 점 $O_2$는 첫 번째 부채꼴의 호 위의 점이므로, 선분 $O_1O_2$는 첫 번째 부채꼴의 반지름과 같습니다. 즉, $O_1O_2 = 1$입니다.
- $\angle A_1O_1O_2 = \frac{5\pi}{12}$이고, $\angle A_1O_1B_1 = \frac{\pi}{4}$이므로, 남은 각인 $\angle B_1O_1O_2$는 다음과 같습니다.
$$\angle B_1O_1O_2 = \frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$
점 $A_2$는 직선 $O_1B_1$ 위에 있으므로, 삼각형 $O_1O_2A_2$에서 $\angle A_2O_1O_2 = \frac{\pi}{6}$입니다.
- 또한, 문제에서 선분 $O_2A_2$와 선분 $O_1A_1$이 평행하다고 했습니다 ($O_2A_2 \parallel O_1A_1$).
- 평행선에서 엇각의 크기는 같으므로, 직선 $O_1A_2$를 가로지르는 선으로 보면 $\angle O_1A_2O_2$와 $\angle A_1O_1A_2$는 엇각 관계입니다.
$$\angle O_1A_2O_2 = \angle A_1O_1A_2 = \frac{\pi}{4}$$
3단계: 사인법칙으로 두 번째 반지름 $r_2$ 구하기
이제 삼각형 $O_1O_2A_2$에서 한 변의 길이 $O_1O_2 = 1$과 두 마주보는 각의 크기를 알았습니다. 사인법칙을 사용하여 우리가 구하고자 하는 두 번째 반지름 $r_2 = O_2A_2$를 구해봅시다.
$$\frac{O_2A_2}{\sin(\angle A_2O_1O_2)} = \frac{O_1O_2}{\sin(\angle O_1A_2O_2)}$$
여기에 우리가 구한 값들을 대입합니다.
$$\frac{r_2}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}$$
$$\frac{r_2}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
양변에 $\frac{1}{2}$을 곱하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$r_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
4단계: 닮음비와 넓이비(공비 $r$) 구하기
첫 번째 부채꼴과 두 번째 부채꼴은 서로 닮음입니다.
- 두 도형의 닮음비(길이의 비)는 첫 번째 반지름과 두 번째 반지름의 비와 같습니다.
$$\text{닮음비} = 1 : \frac{1}{\sqrt{2}}$$
- 우리가 구하는 것은 '넓이'의 합이므로, 닮음비를 제곱하여 **넓이비(공비 $r$)**를 구합니다.
$$r = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$$
5단계: 무한등비급수 공식으로 최종 합 구하기
이제 첫째항 $a = \frac{\pi}{8}$와 공비 $r = \frac{1}{2}$을 모두 구했으니, 무한등비급수 합 공식을 적용해 봅시다.
$$S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{\pi}{8}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{4}$$
답
정답은 **③ $\frac{\pi}{4}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문: 만약 문제에서 첫 번째 부채꼴 $O_1A_1O_2$의 반지름의 길이가 $1$이 아니라 $2$로 주어졌다면, 이 무한등비급수의 **첫째항 $a$와 공비 $r$**은 각각 어떻게 변할까요? 그리고 최종 넓이의 합은 처음 결과의 몇 배가 될지 생각해 보세요.