어떤 문제인가
이 문제는 두 함수 $f(x) = e^x$와 $g(x) = k \sin x$의 그래프가 만나는 교점의 개수를 다루는 문제입니다. 방정식 $f(x) = g(x)$의 실근은 두 그래프의 교점의 $x$좌표와 같기 때문입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수와 삼각함수의 그래프: 두 함수의 그래프가 양수 영역($x > 0$)에서 어떻게 그려지는지 이해합니다.
- 교점의 개수와 접선: 교점의 개수가 정확히 3개가 되기 위한 기하학적 상황(접하는 상황)을 파악합니다.
- 미분법을 이용한 접선의 조건: 두 곡선이 한 점에서 접할 조건(함숫값이 같고, 미분계수가 같다)을 이용해 미지수를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 그래프의 개형을 그리고 "실근이 3개"인 상황 이해하기
먼저 두 함수 $y = e^x$와 $y = k \sin x$ ($k > 0$)의 그래프를 $x > 0$ 영역에서 상상해 봅시다.
- $y = e^x$는 $x$가 커질수록 아주 빠르게 증가하는 지수함수입니다.
- $y = k \sin x$는 주기가 $2\pi$이고 최댓값이 $k$, 최솟값이 $-k$인 출렁이는 파동 모양의 함수입니다.
$e^x > 0$이므로, 두 그래프가 만나려면 반드시 $\sin x > 0$인 영역이어야 합니다. 즉, 사인 함수가 양수인 구간에서만 교점이 생길 수 있습니다.
- 첫 번째 양수 구간: $(0, \pi)$
- 두 번째 양수 구간: $(2\pi, 3\pi)$
- 세 번째 양수 구간: $(4\pi, 5\pi)$ ...
지수함수 $e^x$는 계속 커지기 때문에, 결국 어느 순간부터는 사인 함수보다 훨씬 커져서 더 이상 만나지 않게 됩니다.
서로 다른 양의 실근의 개수가 정확히 3개가 되려면 어떤 일이 일어나야 할까요?
- 첫 번째 구간 $(0, \pi)$에서 지수함수가 사인 곡선 아래를 통과하면서 2개의 교점이 생겨야 합니다.
- 두 번째 구간 $(2\pi, 3\pi)$에서 지수함수가 사인 곡선과 딱 한 번 만나야 합니다. 즉, 접해야 합니다(1개의 교점).
- 그 이후 구간인 $x > 3\pi$에서는 지수함수가 너무 커져서 사인 곡선과 만나지 않아야 합니다.
따라서, 이 문제는 **"두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 구간 $(2\pi, 3\pi)$에서 접할 때"**의 $k$ 값을 구하는 문제입니다.
2단계: 접점에서의 조건식 세우기
두 곡선이 $x = \alpha$ ($\alpha \in (2\pi, 3\pi)$)에서 접한다고 해봅시다. 접점에서는 다음 두 가지 조건이 성립해야 합니다.
조건 1 (함숫값이 같다):
$$f(\alpha) = g(\alpha) \implies e^\alpha = k \sin \alpha \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
조건 2 (접선의 기울기가 같다 - 미분계수가 같다):
각각을 미분하면 $f'(x) = e^x$, $g'(x) = k \cos x$이므로,
$$f'(\alpha) = g'(\alpha) \implies e^\alpha = k \cos \alpha \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: 접점 $\alpha$와 $k$의 값 구하기
(식 1)과 (식 2)의 좌변이 모두 $e^\alpha$로 같으므로, 우변끼리도 같아야 합니다.
$$k \sin \alpha = k \cos \alpha$$
양수 $k$로 양변을 나누면:
$$\sin \alpha = \cos \alpha$$
양변을 $\cos \alpha$로 나누면 탄젠트 함수를 얻을 수 있습니다:
$$\tan \alpha = 1$$
우리가 찾는 접점 $\alpha$는 구간 $(2\pi, 3\pi)$에 있어야 합니다. 이 구간에서 탄젠트 값이 $1$이면서 $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$을 만족하는 각은 제1사분면 계열의 각입니다.
따라서,
$$\alpha = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$$
이제 이 $\alpha$ 값을 (식 1)에 대입하여 $k$ 값을 구합니다.
$$e^{\frac{9\pi}{4}} = k \sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)$$
$\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 이므로,
$$e^{\frac{9\pi}{4}} = k \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$$
양변에 $\sqrt{2}$를 곱하면 우리가 원하는 $k$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$k = \sqrt{2} e^{\frac{9\pi}{4}}$$
답
정답은 ④번인 $\sqrt{2}e^{\frac{9\pi}{4}}$ 입니다.
확인해보기
오늘 배운 원리를 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다!
질문:
만약 문제 조건에서 서로 다른 양의 실근의 개수가 3개가 아니라 5개가 되도록 하는 양수 $k$의 값을 구하라고 한다면, 이때의 $k$ 값은 얼마가 될까요? (접점이 생기는 구간이 어디로 바뀔지 생각해 보세요!)