어떤 문제인가
이 문제는 삼각함수와 도형의 성질을 결합하여, 특정 도형의 넓이를 $\theta$에 대한 식으로 나타낸 후 극한값을 구하는 '삼각함수의 극한 도형 문제'입니다. 수능과 모의고사에서 아주 자주 출제되는 대표적인 유형이지요.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이 $a, b$와 그 끼인각 $\theta$를 알 때, 넓이는 $S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$입니다.
- 삼각비의 기본 정의와 성질: 직각삼각형에서 변의 길이를 삼각함수로 표현하는 방법입니다.
- 삼각함수의 극한 기본 공식: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$과 $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 삼각형 $OAP$의 넓이 $f(\theta)$ 구하기
먼저 구하기 쉬운 $f(\theta)$부터 차근차근 구해봅시다.
선분 $AB$가 지름이고 길이가 $2$이므로, 반지름의 길이는 $1$입니다. 즉, $OA = OP = 1$입니다.
삼각형 $OAP$는 $OA = OP = 1$인 이등변삼각형이므로, 두 밑각의 크기가 같습니다.
$$\angle OAP = \angle OPA = \theta$$
삼각형 세 내각의 합은 $\pi(180^\circ)$이므로, 꼭지각 $\angle AOP$의 크기는 다음과 같습니다.
$$\angle AOP = \pi - 2\theta$$
이제 삼각형의 넓이 공식을 사용해 $f(\theta)$를 구합니다.
$$f(\theta) = \frac{1}{2} \times OA \times OP \times \sin(\angle AOP)$$
$$f(\theta) = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin(\pi - 2\theta) = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$$
2단계: 삼각형 $PQR$의 변의 길이와 각도 분석하기
이제 조금 더 복잡한 $g(\theta)$를 구하기 위해 삼각형 $PQR$의 정보들을 하나씩 찾아봅시다.
**① 변 $PQ$의 길이 구하기**
직각삼각형 $OBQ$를 주목해 보세요. $\angle OBQ = \frac{\pi}{2}$이고, $\angle BOQ$는 삼각형 $OAP$의 외각이므로 $\angle BOQ = 2\theta$입니다.
밑변 $OB = 1$이므로, 직각삼각형의 정의에 의해 다음이 성립합니다.
$$\cos(2\theta) = \frac{OB}{OQ} = \frac{1}{OQ} \implies OQ = \frac{1}{\cos(2\theta)} = \sec(2\theta)$$
점 $P$는 반지름 위에 있으므로 $OP = 1$입니다. 따라서 선분 $PQ$의 길이는 다음과 같습니다.
$$PQ = OQ - OP = \sec(2\theta) - 1 = \frac{1 - \cos(2\theta)}{\cos(2\theta)}$$
**② 삼각형 $PQR$의 세 내각 구하기**
- **$\angle QPR$ 구하기**:
직선 $OQ$와 직선 $AR$은 점 $P$에서 만납니다. 따라서 $\angle QPR$은 $\angle OPA$와 맞꼭지각입니다.
$$\angle QPR = \angle OPA = \theta$$
- **$\angle PQR$ 구하기**:
직각삼각형 $OBQ$에서 $\angle OQB = \frac{\pi}{2} - 2\theta$입니다.
선분 $QR$은 $\angle OQB$의 이등분선이므로,
$$\angle PQR = \frac{1}{2} \angle OQB = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) = \frac{\pi}{4} - \theta$$
- **$\angle PRQ$ 구하기**:
삼각형 $PQR$의 세 내각의 합은 $\pi$이므로,
$$\angle PRQ = \pi - (\angle QPR + \angle PQR) = \pi - \left(\theta + \frac{\pi}{4} - \theta\right) = \frac{3\pi}{4}$$
놀랍게도 $\angle PRQ$는 $\theta$의 크기와 상관없이 항상 $\frac{3\pi}{4}(135^\circ)$로 일정하네요!
3단계: 삼각형 $PQR$의 넓이 $g(\theta)$ 구하기
삼각형 $PQR$에서 한 변의 길이 $PQ$와 세 내각의 크기를 모두 알게 되었습니다. 사인 법칙을 이용해 다른 한 변 $PR$의 길이를 구해봅시다.
$$\frac{PR}{\sin(\angle PQR)} = \frac{PQ}{\sin(\angle PRQ)}$$
$$\frac{PR}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)} = \frac{PQ}{\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)}$$
$\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로, $PR$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$PR = \sqrt{2} \times PQ \times \sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$$
이제 두 변 $PQ, PR$과 그 끼인각 $\angle QPR = \theta$를 이용하여 넓이 $g(\theta)$를 구합니다.
$$g(\theta) = \frac{1}{2} \times PQ \times PR \times \sin(\theta)$$
$$g(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} (PQ)^2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) \sin(\theta)$$
4단계: 극한값 계산하기
우리가 구하고자 하는 식은 다음과 같습니다.
$$\lim_{\theta \to 0+} \frac{g(\theta)}{\theta^4 \times f(\theta)}$$
여기에 위에서 구한 $f(\theta)$와 $g(\theta)$를 대입해 봅시다.
$$\lim_{\theta \to 0+} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (PQ)^2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) \sin(\theta)}{\theta^4 \times \frac{1}{2} \sin(2\theta)}$$
분모, 분수의 약분할 수 있는 부분을 정리하면,
$$\lim_{\theta \to 0+} \left[ \sqrt{2} \times \left(\frac{PQ}{\theta^2}\right)^2 \times \sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) \times \frac{\sin(\theta)}{\sin(2\theta)} \right]$$
여기서 각 부분의 극한값을 따로 계산해 봅시다.
- **$\lim_{\theta \to 0+} \frac{PQ}{\theta^2}$ 계산**:
$$PQ = \frac{1 - \cos(2\theta)}{\cos(2\theta)}$$ 이므로,
$$\lim_{\theta \to 0+} \frac{PQ}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0+} \frac{1 - \cos(2\theta)}{\theta^2 \cos(2\theta)}$$
여기서 $2\theta = x$로 치환하면 $\theta \to 0$일 때 $x \to 0$이므로,
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\left(\frac{x}{2}\right)^2 \cos x} = \lim_{x \to 0} \left[ 4 \times \frac{1 - \cos x}{x^2} \times \frac{1}{\cos x} \right] = 4 \times \frac{1}{2} \times 1 = 2$$
- 나머지 삼각함수 부분 계산:
$$\lim_{\theta \to 0+} \sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\lim_{\theta \to 0+} \frac{\sin(\theta)}{\sin(2\theta)} = \lim_{\theta \to 0+} \frac{\sin(\theta)}{\theta} \times \frac{2\theta}{\sin(2\theta)} \times \frac{1}{2} = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$
이제 이 값들을 모두 원래 식에 대입합니다.
$$\lim_{\theta \to 0+} \frac{g(\theta)}{\theta^4 \times f(\theta)} = \sqrt{2} \times (2)^2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$$
답
정답은 **① $2$** 입니다.
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
질문: 만약 처음 문제에서 선분 $AB$의 지름의 길이가 $2$가 아니라 $4$로 늘어난다면, 극한값 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{g(\theta)}{\theta^4 \times f(\theta)}$은 어떻게 변할까요? 직접 계산하지 않고 도형의 닮음과 넓이의 성질을 이용해서 생각해 보세요!