어떤 문제인가
이 문제는 매개변수로 나타내어진 함수의 미분과 합성함수의 미분법을 활용하는 고난도 미적분 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 극대의 조건: 함수 $f(x)$가 $x=k$에서 극대이면, $f'(k) = 0$이 성립합니다.
- 함수의 관계식 세우기: $x=k$가 $t$에 의해 결정되므로, $k$ 대신 $g(t)$를 대입하여 $t$와 $g(t)$ 사이의 관계식을 이끌어냅니다.
- 합성함수와 곱의 미분법: 구한 관계식의 양변을 변수 $t$에 대해 미분하여 $g'(t)$를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 극대 조건을 이용하여 관계식 만들기
함수 $f(x) = t(\ln x)^2 - x^2$이 $x=k$에서 극대라고 했으므로, 먼저 $f(x)$를 $x$에 대해 미분해 봅시다. (이때 $t$는 상수 취급합니다.)
$$f'(x) = t \cdot 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} - 2x = \frac{2t\ln x - 2x^2}{x}$$
$x=k$에서 극대이므로 $f'(k) = 0$이어야 합니다. $k > 0$이므로 분자가 $0$이 되어야 합니다.
$$2t\ln k - 2k^2 = 0 \implies t\ln k = k^2$$
2단계: $k = g(t)$를 대입하여 $t$에 대한 식 만들기
문제에서 이 극대가 되는 $x$의 값 $k$를 $g(t)$라고 정의했습니다. 즉, $k = g(t)$입니다.
이것을 1단계에서 구한 식에 대입하면 $t$와 $g(t)$ 사이의 항등식을 얻을 수 있습니다.
$$t \ln(g(t)) = \{g(t)\}^2 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3단계: $g(\alpha) = e^2$을 이용하여 $\alpha$ 값 구하기
조건에서 $g(\alpha) = e^2$이라고 했습니다. $\text{(식 1)}$에 $t = \alpha$를 대입해 봅시다.
$$\alpha \ln(g(\alpha)) = \{g(\alpha)\}^2$$
$$\alpha \ln(e^2) = (e^2)^2$$
$\ln(e^2) = 2$이므로,
$$2\alpha = e^4 \implies \alpha = \frac{e^4}{2}$$
4단계: 양변을 $t$로 미분하여 $g'(\alpha)$ 구하기
이제 $g'(t)$를 구하기 위해 $\text{(식 1)}$의 양변을 $t$에 대해 미분해 봅시다.
좌변은 곱의 미분법과 합성함수 미분법을, 우변은 합성함수 미분법을 사용합니다.
- 좌변 미분:
$$\frac{d}{dt} [t \ln(g(t))] = 1 \cdot \ln(g(t)) + t \cdot \frac{g'(t)}{g(t)}$$
- 우변 미분:
$$\frac{d}{dt} [\{g(t)\}^2] = 2g(t) \cdot g'(t)$$
두 미분 결과가 같으므로 다음과 같은 식을 얻습니다.
$$\ln(g(t)) + \frac{t \cdot g'(t)}{g(t)} = 2g(t) \cdot g'(t)$$
이 식에 우리가 알고 있는 값인 $t = \alpha = \frac{e^4}{2}$와 $g(\alpha) = e^2$을 대입합니다.
$$\ln(e^2) + \frac{\frac{e^4}{2} \cdot g'(\alpha)}{e^2} = 2e^2 \cdot g'(\alpha)$$
$$2 + \frac{e^2}{2} g'(\alpha) = 2e^2 g'(\alpha)$$
$g'(\alpha)$를 구하기 위해 동류항을 묶어 정리합니다.
$$2 = \left(2e^2 - \frac{e^2}{2}\right) g'(\alpha)$$
$$2 = \frac{3e^2}{2} g'(\alpha)$$
$$g'(\alpha) = \frac{4}{3e^2}$$
5단계: 최종 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $\alpha \times \{g'(\alpha)\}^2$입니다. 위에서 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$\alpha \times \{g'(\alpha)\}^2 = \frac{e^4}{2} \times \left(\frac{4}{3e^2}\right)^2$$
$$= \frac{e^4}{2} \times \frac{16}{9e^4}$$
$$= \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$$
따라서 $\frac{q}{p} = \frac{8}{9}$입니다.
$p$와 $q$는 서로소인 자연수이므로 $p = 9$, $q = 8$입니다.
최종적으로 구하는 값은 다음과 같습니다.
$$p + q = 9 + 8 = 17$$
답
$$17$$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문:
우리는 $f'(k) = 0$이라는 조건만으로 식을 세워 풀었습니다. 하지만 엄밀하게는 $x=k$에서 '극대'가 되려면 $x=k$ 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 어떻게 변해야 할까요? 그리고 이 문제의 조건 $t > 2e$는 왜 주어졌을지 생각해 보세요. (답은 스스로 고민해 봅시다!)