어떤 문제인가
이 문제는 곡선과 직선이 만나는 두 점 사이의 거리를 구하고, 이를 통해 정의된 함수 $f(t)$의 미분계수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 두 그래프의 교점 구하기: 두 식을 연립하여 교점의 $x$좌표를 구합니다. 이 과정에서 지수방정식과 이차방정식의 풀이가 쓰입니다.
- 기울기가 1인 직선 위의 두 점 사이의 거리: 기울기가 $1$인 직선 위의 두 점 사이의 거리는 $x$좌표의 차이에 $\sqrt{2}$를 곱한 것과 같습니다. (직각이등변삼각형의 성질)
- 합성함수의 미분법: 로그함수와 지수함수가 합성된 형태를 미분할 수 있어야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 교점의 $x$좌표를 구하기 위한 식 세우기
곡선 $y = \ln(1 + e^{2x} - e^{-2t})$과 직선 $y = x + t$가 만나는 점을 찾아야 하므로, 두 식을 서로 같다고 놓습니다.
$$\ln(1 + e^{2x} - e^{-2t}) = x + t$$
로그의 정의에 의해 양변에 밑이 $e$인 지수를 취해주면 다음과 같이 정리됩니다.
$$1 + e^{2x} - e^{-2t} = e^{x+t}$$
우변의 $e^{x+t}$를 $e^x \cdot e^t$로 바꾼 뒤, 모든 항을 좌변으로 이항하여 $e^x$에 대한 내림차순으로 정리해 봅시다.
$$(e^x)^2 - e^t \cdot e^x + (1 - e^{-2t}) = 0$$
이 식은 $e^x$를 하나의 문자(예: $X$)로 보면 이차방정식의 형태입니다.
2단계: 이차방정식 풀어서 $x$좌표 구하기
$X = e^x$라 하면, 방정식은 $X^2 - e^t \cdot X + (1 - e^{-2t}) = 0$이 됩니다. 근의 공식을 사용하기 위해 판별식 $D$를 먼저 구해봅시다.
$$D = (e^t)^2 - 4(1 - e^{-2t}) = e^{2t} - 4 + 4e^{-2t}$$
이 식을 자세히 보면 완전제곱식으로 인수분해된다는 것을 알 수 있습니다!
$$D = (e^t - 2e^{-t})^2$$
문제 조건에서 $t > \frac{1}{2}\ln 2$이므로, $2t > \ln 2 \implies e^{2t} > 2 \implies e^t > 2e^{-t}$가 되어 $e^t - 2e^{-t} > 0$입니다.
따라서 $\sqrt{D} = e^t - 2e^{-t}$가 됩니다.
이제 근의 공식을 사용하여 $X$를 구합니다.
$$X = \frac{e^t \pm (e^t - 2e^{-t})}{2}$$
두 개의 근을 각각 $X_1, X_2$ ($X_1 < X_2$)라 하면,
- $X_1 = \frac{e^t - (e^t - 2e^{-t})}{2} = e^{-t}$
- $X_2 = \frac{e^t + (e^t - 2e^{-t})}{2} = e^t - e^{-t}$
우리가 구하고자 한 것은 $x$이므로 $e^x = X$에 대입합니다. 두 교점의 $x$좌표를 각각 $x_1, x_2$ ($x_1 < x_2$)라 하면,
- $e^{x_1} = e^{-t} \implies x_1 = -t$
- $e^{x_2} = e^t - e^{-t} \implies x_2 = \ln(e^t - e^{-t})$
3단계: 두 점 사이의 거리 $f(t)$ 구하기
두 교점은 기울기가 $1$인 직선 $y = x + t$ 위에 있습니다.
기울기가 $1$이라는 것은 $x$축과 이루는 각도가 $45^\circ$라는 뜻이므로, 두 점 사이의 거리 $f(t)$는 $x$좌표의 차이에 $\sqrt{2}$를 곱한 것과 같습니다.
$$f(t) = (x_2 - x_1)\sqrt{2}$$
위에서 구한 $x_1, x_2$를 대입해 봅시다.
$$f(t) = \left[ \ln(e^t - e^{-t}) - (-t) \right] \sqrt{2}$$
$$f(t) = \left[ \ln(e^t - e^{-t}) + \ln(e^t) \right] \sqrt{2}$$
로그의 성질을 이용해 합치면,
$$f(t) = \sqrt{2} \ln \left( e^t(e^t - e^{-t}) \right) = \sqrt{2} \ln(e^{2t} - 1)$$
4단계: 미분하여 $f'(\ln 2)$ 구하기
이제 함수 $f(t)$를 $t$에 대해 미분해 봅시다. 합성함수의 미분법을 사용합니다.
$$f'(t) = \sqrt{2} \cdot \frac{(e^{2t} - 1)'}{e^{2t} - 1} = \sqrt{2} \cdot \frac{2e^{2t}}{e^{2t} - 1}$$
우리가 구해야 할 값은 $t = \ln 2$일 때의 미분계수입니다.
$e^{2t}$에 $t = \ln 2$를 대입하면, $e^{2\ln 2} = e^{\ln 4} = 4$가 됩니다.
$$f'(\ln 2) = \sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{4 - 1} = \frac{8}{3}\sqrt{2}$$
5단계: $p+q$ 구하기
문제에서 $f'(\ln 2) = \frac{q}{p}\sqrt{2}$라 하였으므로,
$$\frac{q}{p} = \frac{8}{3}$$
$p$와 $q$는 서로소인 자연수이므로 $p = 3$, $q = 8$입니다.
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$p + q = 3 + 8 = 11$$
답
$$11$$
확인해보기
기울기가 $m$인 직선 $y = mx + n$ 위의 두 점의 $x$좌표가 각각 $x_1, x_2$ ($x_1 < x_2$)일 때, 두 점 사이의 거리를 $x_1, x_2, m$을 사용하여 나타내 보세요. (이 개념이 왜 이 문제에서 $f(t) = (x_2 - x_1)\sqrt{2}$로 쓰였는지 스스로 설명해 봅시다.)