어떤 문제인가
이 문제는 지수에 무리수가 포함된 두 수의 곱을 계산하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수법칙 (밑이 같은 두 수의 곱): 밑이 같을 때 두 수를 곱하면, 지수끼리는 서로 더해집니다. 즉, $a^x \times a^y = a^{x+y}$ (단, $a > 0$)가 성립합니다.
- 무리수의 덧셈과 뺄셈: 지수 자리에 있는 무리수들을 동류항끼리 정리하여 간단히 만드는 과정이 필요합니다.
단계별 풀이
1단계: 밑이 같은지 확인하고 지수법칙 적용하기
주어진 식은 $2^{\sqrt{3}} \times 2^{2-\sqrt{3}}$입니다.
두 수 모두 밑이 $2$로 같습니다. 밑이 같은 두 지수 표현의 곱이므로, 지수법칙을 사용하여 지수끼리 더해줄 수 있습니다.
$$2^{\sqrt{3}} \times 2^{2-\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3} + (2-\sqrt{3})}$$
2단계: 지수 부분 계산하기
이제 지수 자리에 있는 식인 $\sqrt{3} + (2-\sqrt{3})$을 계산해 봅시다.
괄호를 풀고 동류항(무리수 부분)끼리 계산하면 다음과 같습니다.
$$\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 2$$
$\sqrt{3}$과 $-\sqrt{3}$이 서로 더해져서 $0$이 되고, 숫자 $2$만 남게 됩니다.
3단계: 최종 값 구하기
계산한 지수를 다시 밑 위에 올려놓으면 식은 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$2^2$$
$2^2$은 $2 \times 2$이므로 최종 답은 다음과 같습니다.
$$2^2 = 4$$
답
정답은 **④ $4$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 지수법칙을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 식의 값은 무엇일까요? (스스로 풀어보고 답을 생각해보세요!)
$$3^{1+\sqrt{2}} \times 3^{1-\sqrt{2}}$$