어떤 문제인가
이 문제는 두 로그 함수의 그래프가 만나는 점(교점)의 $x$좌표가 특정 범위($1 < x < 2$)에 있도록 하는 자연수 $n$의 조건을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 로그의 성질: 복잡해 보이는 두 로그 식을 하나로 합쳐서 다룰 수 있게 해줍니다.
- 이차방정식의 실근의 위치 (근의 분리): 교점의 $x$좌표가 $1$과 $2$ 사이에 존재하도록 하는 조건을 함수 그래프의 성질을 이용해 찾아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 두 곡선의 교점을 구하는 방정식 세우기
두 곡선이 만나는 점의 $x$좌표를 구하기 위해, 두 함수의 $y$값이 같다고 식을 세웁니다.
$$\log_n x = -\log_n(x+3)+1$$
이때, 로그의 진수 조건에 의해 $x > 0$ 이고 $x+3 > 0$ 이어야 하므로 $x > 0$ 입니다. 우리가 구하고자 하는 교점의 $x$좌표는 $1$보다 크고 $2$보다 작으므로 이 조건($x>0$)을 자연스럽게 만족합니다.
2단계: 로그의 성질을 이용하여 식 정리하기
우변에 있는 로그 항을 좌변으로 이항하여 정리해 봅시다.
$$\log_n x + \log_n(x+3) = 1$$
로그의 합은 진수의 곱과 같으므로 다음과 같이 합칠 수 있습니다.
$$\log_n \{x(x+3)\} = 1$$
로그의 정의에 의해 이 식은 다음과 같은 이차방정식으로 바뀝니다.
$$x(x+3) = n^1$$
$$x^2 + 3x - n = 0$$
3단계: 교점의 $x$좌표가 $1$과 $2$ 사이에 있을 조건 구하기
이제 이 이차방정식의 실근(교점의 $x$좌표)이 $1$보다 크고 $2$보다 작을 조건을 찾아야 합니다.
이차함수 $f(x) = x^2 + 3x - n$ 이라고 해봅시다.
이 함수의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이며, 대칭축은 $x = -\frac{3}{2} = -1.5$ 입니다. 대칭축이 $1$보다 왼쪽에 있으므로, $x > 1$인 영역에서 이 함수는 $x$값이 커질수록 $y$값도 계속 증가하는 형태(증가함수)가 됩니다.
따라서, $f(x) = 0$의 근이 $1$과 $2$ 사이에 존재하려면 그래프가 $x$축과 $1$과 $2$ 사이에서 만나야 합니다. 즉, 다음과 같은 부호 조건을 만족해야 합니다.
- $x=1$일 때의 함숫값은 음수여야 합니다: $f(1) < 0$
- $x=2$일 때의 함숫값은 양수여야 합니다: $f(2) > 0$
이 두 조건을 각각 계산해 봅시다.
- $f(1) < 0$ 대입:
$$1^2 + 3(1) - n < 0 \implies 4 - n < 0 \implies n > 4$$
- $f(2) > 0$ 대입:
$$2^2 + 3(2) - n > 0 \implies 10 - n > 0 \implies n < 10$$
두 조건을 동시에 만족하는 $n$의 범위는 다음과 같습니다.
$$4 < n < 10$$
4단계: 만족하는 모든 자연수 $n$의 합 구하기
문제에서 $n$은 $n \ge 2$인 자연수라고 했습니다. 범위 $4 < n < 10$에 속하는 자연수 $n$은 다음과 같습니다.
$$n = 5, 6, 7, 8, 9$$
이 값들의 합을 구하면:
$$5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35$$
답
② 35
확인해보기
만약 문제에서 교점의 $x$좌표가 **$2$보다 크고 $3$보다 작도록** 조건을 바꾸었다면, 이때 자연수 $n$의 범위를 구하기 위해 $f(2)$와 $f(3)$의 부호는 각각 어떻게 되어야 할까요?