2022학년도 6월 모의평가 수학 11번 풀이·해설

어떤 문제인가

이 문제는 주어진 조건들을 활용하여 주기함수의 정적분을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.

주기함수의 성질과 정적분: 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x+2) = g(x)$라는 것은 함수 $g(x)$가 주기 2를 가진다는 뜻입니다. 즉, 길이가 2인 구간에서의 정적분 값은 항상 일정합니다.
정적분의 평행이동: $g(x)$의 식에 들어있는 $f(x+1)$과 같은 형태를 다루기 위해, 그래프를 평행이동하거나 변수를 치환하여 우리가 알고 있는 $\int_{0}^{1} f(x)dx$의 형태로 변형해야 합니다.

단계별 풀이

1단계: 구하고자 하는 정적분 구간을 주기에 맞게 쪼개기

우리가 구해야 하는 값은 $\int_{-3}^{2} g(x)dx$입니다. 적분 구간의 길이는 $2 - (-3) = 5$입니다.

함수 $g(x)$의 주기가 $2$이므로, 이 구간을 길이 $2$짜리 구간들과 남는 구간으로 쪼개어 생각하면 편리합니다.

\int_{-3}^{2} g(x)dx = \int_{-3}^{-1} g(x)dx + \int_{-1}^{1} g(x)dx + \int_{1}^{2} g(x)dx

주기함수의 성질($g(x) = g(x+2)$)을 이용하면, 각 구간을 기본 구간인 $[-1, 1]$ 범위로 옮겨올 수 있습니다.

$\int_{-3}^{-1} g(x)dx$는 평행이동하면 $\int_{-1}^{1} g(x)dx$와 같습니다.
$\int_{1}^{2} g(x)dx$는 평행이동하면 $\int_{-1}^{0} g(x)dx$와 같습니다.

따라서 구하고자 하는 식은 다음과 같이 정리됩니다.

\int_{-3}^{2} g(x)dx = 2\int_{-1}^{1} g(x)dx + \int_{-1}^{0} g(x)dx

여기서 계산을 더 편하게 하기 위해, 구간 $[-1, 0]$에서의 적분값을 $A$, 구간 $[0, 1]$에서의 적분값을 $B$라고 해봅시다.

$A = \int_{-1}^{0} g(x)dx$
$B = \int_{0}^{1} g(x)dx$

그렇다면 $\int_{-1}^{1} g(x)dx = A + B$가 되므로, 우리가 구해야 할 최종 식은 다음과 같습니다.

\int_{-3}^{2} g(x)dx = 2(A + B) + A = 3A + 2B

이제 $A$와 $B$의 값을 각각 구해봅시다!

2단계: $B = \int_{0}^{1} g(x)dx$ 구하기

조건 (가)에서 $0 \le x \le 1$일 때 $g(x) = f(x)$라고 했습니다.

따라서 $B$는 문제에서 이미 준 조건을 그대로 사용하면 됩니다.

B = \int_{0}^{1} g(x)dx = \int_{0}^{1} f(x)dx = \frac{1}{6}

3단계: $A = \int_{-1}^{0} g(x)dx$ 구하기

조건 (가)에서 $-1 < x < 0$일 때 $g(x) = -f(x+1) + 1$입니다. 이 식을 대입하여 적분해봅시다.

A = \int_{-1}^{0} \{-f(x+1) + 1\} dx = -\int_{-1}^{0} f(x+1)dx + \int_{-1}^{0} 1 dx

여기서 첫 번째 항인 $\int_{-1}^{0} f(x+1)dx$를 계산하기 위해 $x+1 = t$로 치환해 봅시다. (또는 그래프를 $x$축 방향으로 $-1$만큼 평행이동했다고 생각해도 좋습니다.)

$x+1 = t$로 놓으면, $dx = dt$가 됩니다.
$x = -1$일 때 $t = 0$이고, $x = 0$일 때 $t = 1$입니다.

따라서,

\int_{-1}^{0} f(x+1)dx = \int_{0}^{1} f(t)dt = \frac{1}{6}

두 번째 항은 쉽게 계산할 수 있습니다.

\int_{-1}^{0} 1 dx = [x]_{-1}^{0} = 0 - (-1) = 1

이 두 결과를 합쳐서 $A$를 구하면 다음과 같습니다.

A = -\frac{1}{6} + 1 = \frac{5}{6}

4단계: 최종 답 계산하기

1단계에서 세운 식 $3A + 2B$에 우리가 구한 $A$와 $B$의 값을 대입합니다.

3A + 2B = 3\left(\frac{5}{6}\right) + 2\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{15}{6} + \frac{2}{6} = \frac{17}{6}

답

**② $\frac{17}{6}$**

확인해보기

이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.

> 질문: 어떤 연속함수 $h(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $h(x+3) = h(x)$를 만족하고, $\int_{0}^{3} h(x)dx = 4$라고 합니다. 이때 $\int_{1}^{10} h(x)dx$의 값은 얼마일까요? (힌트: 적분 구간의 전체 길이와 주기의 관계를 생각해보세요.)