어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각형의 변의 길이와 각의 정보를 이용해서 특정 선분($\text{DE}$)의 길이를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 이등변삼각형의 성질: 두 내각의 크기가 같으면 이등변삼각형이 되고, 두 변의 길이도 같습니다.
- 코사인법칙: 삼각형에서 두 변의 길이와 그 끼인각의 코사인 값을 알면 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있습니다.
- 삼각형의 닮음 (AA 닮음): 두 삼각형에서 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같으면 두 삼각형은 닮음입니다.
단계별 풀이
1단계: 이등변삼각형의 성질을 이용해 $BD$와 $AD$의 길이 구하기
먼저 문제에서 준 각의 조건 중 $\angle\text{BAC} = \angle\text{BDA}$에 주목해 봅시다. 편의상 이 각의 크기를 $\theta$라고 할게요. 즉, $\cos\theta = \frac{1}{8}$입니다.
삼각형 $\text{ABD}$를 보면:
- $\angle\text{BAD} = \theta$ (점 $\text{D}$가 선분 $\text{AC}$ 위에 있으므로 $\angle\text{BAD}$는 $\angle\text{BAC}$와 같습니다.)
- $\angle\text{BDA} = \theta$
두 각의 크기가 $\theta$로 같으므로, 삼각형 $\text{ABD}$는 $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{BD}}$인 이등변삼각형입니다.
따라서,
$$\overline{\text{BD}} = \overline{\text{AB}} = 4$$
이제 삼각형 $\text{ABD}$에서 코사인법칙을 사용하여 $\overline{\text{AD}}$의 길이를 구해봅시다.
$$\overline{\text{BD}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AD}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AD}} \cdot \cos\theta$$
구한 값들을 대입하면:
$$4^2 = 4^2 + \overline{\text{AD}}^2 - 2 \cdot 4 \cdot \overline{\text{AD}} \cdot \frac{1}{8}$$
$$16 = 16 + \overline{\text{AD}}^2 - \overline{\text{AD}}$$
$$\overline{\text{AD}}^2 - \overline{\text{AD}} = 0$$
$$\overline{\text{AD}}(\overline{\text{AD}} - 1) = 0$$
선분의 길이는 $0$보다 커야 하므로, $\overline{\text{AD}} = 1$입니다.
전체 선분 $\overline{\text{AC}} = 5$이므로, 남은 선분 $\overline{\text{CD}}$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{CD}} = \overline{\text{AC}} - \overline{\text{AD}} = 5 - 1 = 4$$
2단계: 코사인법칙으로 큰 삼각형 $\text{ABC}$에서 $\overline{\text{BC}}$의 길이 구하기
이번에는 가장 큰 삼각형 $\text{ABC}$에서 코사인법칙을 사용해 밑변 $\overline{\text{BC}}$의 길이를 구해보겠습니다.
$$\overline{\text{BC}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AC}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}} \cdot \cos\theta$$
알고 있는 값들을 대입해 볼까요?
$$\overline{\text{BC}}^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{8}$$
$$\overline{\text{BC}}^2 = 16 + 25 - 5 = 36$$
길이는 양수이므로,
$$\overline{\text{BC}} = 6$$
3단계: 닮은 삼각형 찾아내기
이제 도형 속에서 닮은 두 삼각형을 찾아내어 비례식을 세울 차례입니다. 삼각형 $\text{CBD}$와 삼각형 $\text{CDE}$를 비교해 봅시다.
- 공통인 각: 두 삼각형은 각 $\text{C}$를 공통으로 가지고 있습니다.
$$\angle\text{BCD} = \angle\text{DCE}$$
- 크기가 같은 또 다른 각:
- 일직선 위의 각의 합은 $180^\circ$이므로, $\angle\text{BDC} = 180^\circ - \angle\text{BDA} = 180^\circ - \theta$ 입니다.
- 마찬가지로 점 $\text{E}$가 선분 $\text{BC}$ 위에 있으므로, $\angle\text{DEC} = 180^\circ - \angle\text{BED} = 180^\circ - \theta$ 입니다.
- 따라서, $\angle\text{BDC} = \angle\text{DEC}$ 입니다.
두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로, AA 닮음 성질에 의해 두 삼각형은 닮음입니다!
$$\triangle\text{CBD} \sim \triangle\text{CDE}$$
4단계: 닮음비를 이용해 $\overline{\text{DE}}$의 길이 구하기
두 삼각형이 닮음이므로 대응하는 변의 길이의 비가 같습니다.
$$\frac{\overline{\text{CB}}}{\overline{\text{CD}}} = \frac{\overline{\text{BD}}}{\overline{\text{DE}}}$$
우리가 지금까지 구한 값들을 대입해 봅시다 ($\overline{\text{CB}} = 6$, $\overline{\text{CD}} = 4$, $\overline{\text{BD}} = 4$).
$$\frac{6}{4} = \frac{4}{\overline{\text{DE}}}$$
대각선으로 곱하여 계산하면:
$$6 \cdot \overline{\text{DE}} = 16$$
$$\overline{\text{DE}} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$
답
③ $\frac{8}{3}$
확인해보기
위 풀이에서 찾은 닮음 관계($\triangle\text{CBD} \sim \triangle\text{CDE}$)를 활용해서, 선분 $\text{CE}$의 길이를 구해보세요. 그리고 이 값을 이용해 선분 $\text{BE}$의 길이는 얼마가 되는지 스스로 계산해 보세요!