어떤 문제인가
이 문제는 주어진 주기함수의 성질을 이해하고, 수열의 합($\sum$)을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 주기함수의 성질: $f(x+1) = f(x)$라는 식은 함수 $f(x)$가 $1$을 주기로 반복된다는 뜻입니다.
- 정수와 정수가 아닌 수의 구분: 입력값 $x$가 정수일 때와 정수가 아닐 때 함수 $f(x)$가 어떤 값을 갖는지 파악해야 합니다.
- **시그마($\sum$)의 계산**: 조건에 따라 달라지는 항들을 분류하여 합을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$의 성질 파악하기
주어진 조건 $f(x+1) = f(x)$는 정수만큼 더하거나 빼도 함수의 값이 변하지 않는다는 것을 의미합니다.
구간 $(0, 1]$에서의 함수 정의를 바탕으로, 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)$가 어떤 값을 갖는지 알아봅시다.
- **$x$가 정수일 때**:
모든 정수는 주기가 $1$이므로 $f(1)$과 값이 같습니다.
$$f(\text{정수}) = f(1) = 1$$
- **$x$가 정수가 아닐 때**:
정수가 아닌 실수는 소수 부분을 $\alpha$ ($0 < \alpha < 1$)라고 하면, $x = n + \alpha$ (단, $n$은 정수)로 나타낼 수 있습니다. 주기가 $1$이므로 $f(x) = f(\alpha)$가 됩니다. 이때 $\alpha$는 $0 < \alpha < 1$ 범위에 있으므로 함수 정의에 의해 $3$이 됩니다.
$$f(\text{정수가 아닌 수}) = 3$$
즉, 이 함수는 **입력값이 정수이면 $1$, 정수가 아니면 $3$**을 출력하는 함수입니다!
2단계: $\sqrt{k}$가 정수인지 아닌지 판별하기
우리가 구해야 하는 식은 $\sum_{k=1}^{20} \frac{k \times f(\sqrt{k})}{3}$ 입니다.
여기서 $f(\sqrt{k})$의 값을 결정하기 위해, $k = 1$부터 $20$까지의 자연수 중 $\sqrt{k}$가 정수가 되는 경우를 찾아봅시다.
$\sqrt{k}$가 정수가 되려면, $k$는 완전제곱수여야 합니다.
$1$부터 $20$ 사이의 완전제곱수 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = 1, 4, 9, 16$$
따라서 $f(\sqrt{k})$의 값은 다음과 같이 나뉩니다.
- $k \in \{1, 4, 9, 16\}$ 일 때: $\sqrt{k}$는 정수이므로 $f(\sqrt{k}) = 1$
- 그 외의 $k$ 일 때: $\sqrt{k}$는 무리수(정수가 아님)이므로 $f(\sqrt{k}) = 3$
3단계: 시그마($\sum$) 계산하기
이제 식을 두 부분(완전제곱수인 경우와 그렇지 않은 경우)으로 나누어 계산해 봅시다. 계산을 쉽게 하기 위해 전체 합에서 완전제곱수인 경우를 따로 처리하는 방식을 사용하겠습니다.
구하고자 하는 식:
$$S = \sum_{k=1}^{20} \frac{k \times f(\sqrt{k})}{3}$$
- **$k$가 완전제곱수가 아닐 때 ($f(\sqrt{k}) = 3$)**:
이 경우 일반항은 $\frac{k \times 3}{3} = k$가 됩니다.
- **$k$가 완전제곱수일 때 ($f(\sqrt{k}) = 1$)**:
이 경우 일반항은 $\frac{k \times 1}{3} = \frac{k}{3}$가 됩니다. 원래 $k$여야 할 값이 $\frac{k}{3}$로 줄어든 셈입니다.
따라서, 전체 $k$의 합에서 완전제곱수 부분만 따로 계산해 줍니다.
- **$1$부터 $20$까지의 자연수의 총합**:
$$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \times 21}{2} = 210$$
- **완전제곱수($1, 4, 9, 16$)들의 합**:
$$1 + 4 + 9 + 16 = 30$$
이제 식 $S$를 계산해 봅시다. 완전제곱수가 아닌 16개의 항은 그대로 $k$가 되고, 완전제곱수인 4개의 항은 $\frac{k}{3}$가 됩니다.
$$S = (\text{완전제곱수가 아닌 } k\text{들의 합}) + \sum_{k \in \{1, 4, 9, 16\}} \frac{k}{3}$$
$$S = (210 - 30) + \frac{30}{3}$$
$$S = 180 + 10 = 190$$
답
정답은 ⑤ 190 입니다.
확인해보기
이해를 잘 했는지 스스로 확인해 볼까요?
질문: 만약 문제의 조건은 모두 같고, 구하고자 하는 식의 범위만 $k=1$부터 $k=10$까지로 바뀐다면, 아래 식의 값은 얼마가 될까요? (답은 직접 구해보세요!)
$$\sum_{k=1}^{10} f(\sqrt{k})$$