어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건을 만족하는 두 양수 $p, q$의 합을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 절댓값을 포함한 함수의 연속성: 절댓값 안의 식의 부호에 따라 함수를 나누고, 경계점에서의 연속성을 판단합니다.
- 미분가능성 (뾰족점 찾기): 함수가 꺾이는 점(절댓값이 0이 되는 점)에서 미분이 가능한지 불가능한지 판단하는 원리를 이해합니다.
- 삼차함수의 그래프와 평행이동: $f(x)$의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$만큼, $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 함수 $f(x-p)+q$의 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 정리하여 함수 $g(x)$의 형태 파악하기
먼저 조건 (가)의 식을 살펴봅시다.
$$xg(x) = |xf(x-p) + qx|$$
우변의 절댓값 안에서 $x$를 묶어낼 수 있습니다.
$$xg(x) = |x \cdot \{f(x-p) + q\}| = |x| \cdot |f(x-p) + q|$$
이제 $x$의 부호에 따라 양변을 $x$로 나누어 $g(x)$를 정의해 봅시다. 편의상 $h(x) = f(x-p) + q$라고 두겠습니다.
- **$x > 0$일 때**: $|x| = x$이므로,
$$xg(x) = x|h(x)| \implies g(x) = |h(x)|$$
- **$x < 0$일 때**: $|x| = -x$이므로,
$$xg(x) = -x|h(x)| \implies g(x) = -|h(x)|$$
따라서 함수 $g(x)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$g(x) = \begin{cases} |h(x)| & (x > 0) \\ -|h(x)| & (x < 0) \end{cases}$$
2단계: $x=0$에서 $g(x)$가 연속일 조건 구하기
문제에서 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이라고 했습니다. 따라서 $x=0$에서도 연속이어야 합니다. 즉, 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
$$\lim_{x \to 0^+} g(x) = |h(0)|$$
$$\lim_{x \to 0^-} g(x) = -|h(0)|$$
이 두 값이 같으려면 $|h(0)| = -|h(0)|$이어야 하므로, 반드시 **$h(0) = 0$**이어야 합니다.
$h(x) = f(x-p) + q$이므로 이를 대입하면 다음 식을 얻습니다.
$$f(-p) + q = 0 \implies f(-p) = -q$$
3단계: $g(x)$의 미분가능성 분석하기 (조건 (나) 적용)
이제 조건 (나)를 봅시다. $g(x)$가 미분가능하지 않은 점이 오직 1개뿐이어야 합니다.
$g(x)$가 미분가능하지 않을 후보는 $h(x) = 0$이 되는 점들입니다.
우리는 이미 $h(0) = 0$임을 알고 있습니다. 그렇다면 $x=0$에서 $g(x)$는 미분가능할까요?
- **$x=0$에서의 미분가능성 확인**:
$h(0) = 0$이므로, $h(x)$가 $x=0$ 근처에서 일차식처럼 변한다고 하면(즉, $h'(0) \neq 0$), $x$의 부호가 바뀔 때 $h(x)$의 부호도 바뀝니다.
계산을 해보면, $h'(0) > 0$이든 $h'(0) < 0$이든 상관없이 $x=0$ 좌우에서 $g(x)$는 부드럽게 연결되어 **$x=0$에서 항상 미분가능**하게 됩니다. (실제로 $g'(0) = h'(0)$ 또는 $-h'(0)$으로 존재합니다.)
그렇다면 $g(x)$가 미분가능하지 않은 유일한 점 $x=a$는 $x \neq 0$인 곳에서 나와야 합니다.
삼차함수 $h(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 점(근)들에 대해 생각해 봅시다.
- **$h(x) = 0$이 서로 다른 세 실근 $0, \alpha, \beta$를 가질 때**:
$x=0$에서는 미분가능하지만, $x=\alpha$와 $x=\beta$에서는 그래프가 꺾이므로 미분불가능한 점이 2개가 되어 조건 (나)에 위배됩니다.
- **$h(x) = 0$이 $x=0$을 중근(이중근)으로 가질 때**:
즉, $h(0) = 0$이고 $h'(0) = 0$인 경우입니다. 이때 $h(x) = x^2(x-\alpha)$ 꼴이 되며, $x=\alpha$($\alpha \neq 0$)에서만 꺾이므로 **미분불가능한 점이 오직 1개($x=\alpha$)만 존재**하게 됩니다! 이 경우가 우리가 찾는 상황입니다.
따라서 조건 (나)를 만족하려면 다음 두 조건을 만족해야 합니다.
$$h(0) = 0 \quad \text{and} \quad h'(0) = 0$$
4단계: $p$와 $q$의 값 구하기
$h'(x) = f'(x-p)$이므로, $h'(0) = 0$은 **$f'(-p) = 0$**을 의미합니다.
먼저 $f(x)$를 미분해 봅시다.
$$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 12$$
$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1)$$
$f'(x) = 0$이 되는 $x$는 $3$ 또는 $-1$입니다.
즉, $-p = 3$ 또는 $-p = -1$이어야 합니다.
문제에서 **$p$는 양수**라고 했으므로, $-p < 0$이어야 합니다.
따라서 $-p = -1$이 되어야 하므로, **$p = 1$**입니다.
이제 $q$를 구해봅시다. 2단계에서 구한 식 $f(-p) = -q$에 $p=1$을 대입합니다.
$$f(-1) = -q$$
$f(-1)$의 값을 직접 계산해 보면,
$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 12 = -1 - 3 + 9 - 12 = -7$$
따라서 $-7 = -q$이므로, **$q = 7$**입니다. ($q > 0$ 조건도 만족합니다.)
최종적으로 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$p + q = 1 + 7 = 8$$
답
③ 8
확인해보기
풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 함수 $h(x) = x^2(x-6)$일 때, $g(x) = \begin{cases} |h(x)| & (x \ge 0) \\ -|h(x)| & (x < 0) \end{cases}$ 라고 정의해 봅시다. 이 함수 $g(x)$가 $x=0$에서 미분가능한 이유를 우미분계수와 좌미분계수의 정의를 사용하여 스스로 설명해 보세요. (힌트: $x \to 0^+$일 때와 $x \to 0^-$일 때의 식을 각각 구한 뒤 미분계수 정의 식에 대입해 봅니다.)