어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각방정식의 실근 중 **가장 작은 근($\alpha(t)$)과 가장 큰 근($\beta(t)$)**의 성질을 파악하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 삼각방정식의 해와 그래프의 교점: 방정식의 해는 두 그래프 $y = \sin\frac{\pi x}{2}$, $y = \cos\frac{\pi x}{2}$가 직선 $y = t$와 만나는 점의 $x$좌표입니다.
- 삼각함수 그래프의 대칭성과 주기성: 사인과 코사인 그래프가 가지는 선대칭, 점대칭 성질을 이용합니다.
- 정의역의 범위: $x$의 범위가 $0 \le x < 4$로 제한되어 있음에 주의해야 합니다.
단계별 풀이
단계 1. 그래프 그리기와 방정식 이해하기
주어진 방정식은 다음과 같습니다.
$$\left(\sin\frac{\pi x}{2} - t\right)\left(\cos\frac{\pi x}{2} - t\right) = 0$$
이 식이 성립하려면 다음 둘 중 하나를 만족해야 합니다.
$$\sin\frac{\pi x}{2} = t \quad \text{또는} \quad \cos\frac{\pi x}{2} = t$$
두 함수 $f(x) = \sin\frac{\pi x}{2}$와 $g(x) = \cos\frac{\pi x}{2}$는 모두 주기가 $4$입니다.
범위 $0 \le x < 4$에서 두 함수의 그래프와 직선 $y = t$의 교점을 생각합시다.
- $f(x)$는 $(0,0)$에서 시작해 $(1,1)$에서 최댓값, $(2,0)$을 지나 $(3,-1)$에서 최솟값을 갖고 $(4,0)$으로 돌아옵니다.
- $g(x)$는 $(0,1)$에서 시작해 $(1,0)$을 지나 $(2,-1)$에서 최솟값, $(3,0)$을 지나 $(4,1)$로 돌아옵니다.
단계 2. <보기> ㄱ 검증하기
> **ㄱ. $-1 \le t < 0$인 모든 실수 $t$에 대하여 $\alpha(t) + \beta(t) = 5$이다.**
음수 $t$ (즉, $-1 \le t < 0$)에 대해 직선 $y = t$를 그어봅시다.
- **가장 작은 근 $\alpha(t)$**: $y = \cos\frac{\pi x}{2}$ 그래프가 $x \in (1, 2]$ 영역에서 $y = t$와 만나는 첫 번째 점입니다.
- **가장 큰 근 $\beta(t)$**: $y = \sin\frac{\pi x}{2}$ 그래프가 $x \in [3, 4)$ 영역에서 $y = t$와 만나는 마지막 점입니다.
이 두 지점의 대칭성을 살펴봅시다.
- $y = \cos\frac{\pi x}{2}$의 $x \in [1, 2]$ 부분과 $y = \sin\frac{\pi x}{2}$의 $x \in [3, 4]$ 부분은 직선 $x = 2.5$ (즉, $x = \frac{5}{2}$)에 대해 선대칭입니다.
- 실제로 식을 통해 확인해 보면, $\alpha(t) = 2 - x_0$라 하면 대칭성에 의해 $\beta(t) = 3 + x_0$가 됩니다. (여기서 $x_0$는 $t$의 크기에 따라 결정되는 값입니다.)
따라서 두 근을 더하면 다음과 같습니다.
$$\alpha(t) + \beta(t) = (2 - x_0) + (3 + x_0) = 5$$
이 성질은 $-1 \le t < 0$인 모든 $t$에 대해 항상 성립합니다.
따라서 ㄱ은 참입니다.
단계 3. <보기> ㄴ 검증하기
> **ㄴ. $\{t | \beta(t) - \alpha(t) = \beta(0) - \alpha(0)\} = \left\{t \;\middle|\; 0 \le t \le \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$**
먼저 $t = 0$일 때의 두 값 $\alpha(0)$과 $\beta(0)$을 구해봅시다.
- $t = 0$일 때 방정식의 해는 $\{0, 1, 2, 3\}$입니다.
- 따라서 가장 작은 근 $\alpha(0) = 0$, 가장 큰 근 $\beta(0) = 3$입니다.
- 즉, 우리는 **$\beta(t) - \alpha(t) = 3$을 만족하는 $t$의 범위**를 찾아야 합니다.
$t \ge 0$인 경우를 분석해 봅시다.
- **가장 큰 근 $\beta(t)$**: $t \in [0, 1)$ 일 때, 가장 큰 근은 항상 $y = \cos\frac{\pi x}{2}$가 $x \in [3, 4)$ 영역에서 $y = t$와 만나는 점입니다. 이 값을 $\beta(t) = 4 - x_1$이라 합시다. (단, $x_1 \in [0, 1]$ 이며 $\cos\frac{\pi x_1}{2} = t$를 만족합니다.)
- **가장 작은 근 $\alpha(t)$**:
* $0 \le t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ 일 때는 $y = \sin\frac{\pi x}{2}$가 먼저 $y = t$와 만나므로, $\alpha(t) = x_2$ 입니다. (단, $\sin\frac{\pi x_2}{2} = t$)
이때 $\sin\frac{\pi x_2}{2} = \cos\frac{\pi x_1}{2} = t$ 이므로, 두 각의 합은 $\frac{\pi}{2}$가 되어야 합니다. 즉, $\frac{\pi x_2}{2} + \frac{\pi x_1}{2} = \frac{\pi}{2} \implies x_1 + x_2 = 1$ 입니다.
따라서 $\beta(t) - \alpha(t) = (4 - x_1) - x_2 = 4 - (x_1 + x_2) = 3$이 성립합니다!
* 반면, $t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 일 때는 $y = \cos\frac{\pi x}{2}$가 먼저 $y = t$와 만나게 되어 $\alpha(t) = x_1$이 됩니다.
이 경우 $\beta(t) - \alpha(t) = (4 - x_1) - x_1 = 4 - 2x_1$이 되는데, $t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 이면 $x_1 < \frac{1}{2}$ 이므로 $4 - 2x_1 > 3$이 되어 $3$보다 커집니다.
따라서 $\beta(t) - \alpha(t) = 3$을 만족하는 $t$의 범위는 $0 \le t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$가 맞습니다.
따라서 ㄴ은 참입니다.
단계 4. <보기> ㄷ 검증하기
> **ㄷ. $\alpha(t_1) = \alpha(t_2)$인 두 실수 $t_1, t_2$에 대하여 $t_2 - t_1 = \frac{1}{2}$이면 $t_1 \times t_2 = \frac{1}{3}$이다.**
$\alpha(t)$는 $t$의 값에 따라 다음과 같이 결정됩니다.
- $t \in [0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ 일 때: $\alpha(t)$는 $\sin\frac{\pi x}{2} = t$의 해입니다.
- $t \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ 일 때: $\alpha(t)$는 $\cos\frac{\pi x}{2} = t$의 해입니다.
서로 다른 두 실수 $t_1, t_2$에 대해 가장 작은 근의 값 $k = \alpha(t_1) = \alpha(t_2)$가 같아지려면, 하나는 사인 함수에서, 다른 하나는 코사인 함수에서 나와야 합니다. (단, $t_2 > t_1$ 이므로 $t_2$가 코사인, $t_1$이 사인에서 나옵니다.)
즉, 다음이 성립합니다.
$$t_1 = \sin\frac{\pi k}{2}, \quad t_2 = \cos\frac{\pi k}{2}$$
문제에서 $t_2 - t_1 = \frac{1}{2}$라고 주어졌으므로 대입하면,
$$\cos\frac{\pi k}{2} - \sin\frac{\pi k}{2} = \frac{1}{2}$$
이 식의 양변을 제곱해 봅시다.
$$\left(\cos\frac{\pi k}{2} - \sin\frac{\pi k}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$$
$$\cos^2\frac{\pi k}{2} - 2\sin\frac{\pi k}{2}\cos\frac{\pi k}{2} + \sin^2\frac{\pi k}{2} = \frac{1}{4}$$
삼각함수의 기본 공식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 적용하면,
$$1 - 2t_1 t_2 = \frac{1}{4}$$
$$2t_1 t_2 = \frac{3}{4} \implies t_1 \times t_2 = \frac{3}{8}$$
따라서 $t_1 \times t_2 = \frac{3}{8}$이어야 하므로, 보기의 $\frac{1}{3}$은 틀렸습니다.
따라서 ㄷ은 거짓입니다.
답
옳은 것은 ㄱ, ㄴ이므로 정답은 ②입니다.
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: $t = \frac{1}{2}$일 때, 가장 작은 실근 $\alpha\left(\frac{1}{2}\right)$과 가장 큰 실근 $\beta\left(\frac{1}{2}\right)$의 값은 각각 무엇일까요? 직접 구해보세요! (힌트: 단계 3의 풀이 과정을 참고하세요.)