어떤 문제인가
이 문제는 밑이 같은 두 로그의 합을 구하는 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 로그의 성질 (합 공식): 밑이 같은 두 로그를 더할 때, 진수(로그 기호 안의 수)끼리 곱할 수 있습니다.
$$\log_a M + \log_a N = \log_a (M \times N) \quad (단, \, a > 0, \, a \neq 1, \, M > 0, \, N > 0)$$
- 로그의 정의와 단순화: 로그의 밑과 진수를 같게 만들어 식을 간단히 정리합니다.
$$\log_a a^k = k$$
단계별 풀이
1단계: 로그의 성질을 이용하여 식 합치기
주어진 식은 밑이 $4$로 서로 같습니다.
$$\log_4 \frac{2}{3} + \log_4 24$$
밑이 같으므로, 로그의 합 공식을 사용하여 두 진수 $\frac{2}{3}$와 $24$를 곱해 하나의 로그로 합칠 수 있습니다.
$$\log_4 \frac{2}{3} + \log_4 24 = \log_4 \left( \frac{2}{3} \times 24 \right)$$
2단계: 괄호 안의 진수 계산하기
이제 괄호 안의 곱셈을 계산해 봅시다. 분모의 $3$과 $24$를 약분하면 다음과 같습니다.
$$\frac{2}{3} \times 24 = 2 \times 8 = 16$$
따라서 식은 다음과 같이 간단해집니다.
$$\log_4 16$$
3단계: 로그 값 구하기
진수인 $16$을 밑인 $4$의 거듭제곱 형태로 나타내어 봅니다. $16$은 $4$의 제곱($4^2$)입니다.
$$16 = 4^2$$
이것을 로그 식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$\log_4 16 = \log_4 4^2$$
로그의 성질에 의해 진수의 지수 $2$는 로그 앞으로 나올 수 있습니다.
$$\log_4 4^2 = 2 \log_4 4$$
이때 $\log_4 4 = 1$이므로, 최종 값은 다음과 같습니다.
$$2 \times 1 = 2$$
답
$$2$$
확인해보기
오늘 배운 로그의 성질을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
다음 식의 값은 무엇일지 스스로 계산해 보세요. (힌트: 로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈이 됩니다.)
$$\log_3 18 - \log_3 2$$