어떤 문제인가
이 문제는 주어진 3차함수가 극소(local minimum)가 되는 지점을 찾고, 그 지점에서의 $x$값($a$)과 함숫값($f(a)$)을 더한 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **도함수($f'(x)$) 구하기**: 함수의 기울기를 알기 위해 미분을 합니다.
- 극값의 조건: 함수가 극값을 가질 때 도함수의 값은 $0$이 됩니다. ($f'(x) = 0$)
- 극대와 극소 판정: 도함수의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 변하는 지점이 바로 극소입니다.
단계별 풀이
1단계: 함수의 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수의 그래프가 어떻게 오르내리는지(증감)를 알기 위해 먼저 미분을 하여 도함수를 구합니다.
$$f(x) = x^3 - 3x + 12$$
이 식을 $x$에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 3x^2 - 3$$
2단계: 도함수가 $0$이 되는 $x$값 찾기
기울기가 $0$이 되는 지점(접선의 기울기가 평평해지는 지점)에서 극대 또는 극소가 발생할 수 있습니다. $f'(x) = 0$인 $x$를 찾아봅시다.
$$3x^2 - 3 = 0$$
$$3(x^2 - 1) = 0$$
$$3(x-1)(x+1) = 0$$
따라서 기울기가 $0$이 되는 $x$의 값은 **$x = -1$ 또는 $x = 1$**입니다.
3단계: 극소 지점($a$) 판정하기
두 후보 $x = -1$과 $x = 1$ 중 어느 곳에서 극소를 갖는지 도함수의 부호 변화를 통해 확인해 봅시다.
- $x < -1$ 일 때: $f'(x) > 0$ (함수가 증가함 $\nearrow$)
- $-1 < x < 1$ 일 때: $f'(x) < 0$ (함수가 감소함 $\searrow$)
- $x > 1$ 일 때: $f'(x) > 0$ (함수가 증가함 $\nearrow$)
그래프의 흐름을 보면:
- $x = -1$에서는 증가하다가 감소하므로 극대를 가집니다.
- $x = 1$에서는 감소하다가 증가하므로 극소를 가집니다.
따라서 함수가 극소일 때의 $x$값인 $a$는 **$a = 1$**입니다.
4단계: $f(a)$ 계산하고 최종 답 구하기
이제 $a = 1$을 원래 함수 $f(x)$에 대입하여 극솟값 $f(1)$을 구합니다.
$$f(1) = 1^3 - 3(1) + 12$$
$$f(1) = 1 - 3 + 12 = 10$$
따라서 $f(a) = 10$입니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $a + f(a)$이므로,
$$a + f(a) = 1 + 10 = 11$$
답
$$11$$
확인해보기
위 풀이를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문:
함수 $f(x) = x^3 - 3x + 12$가 극대가 되는 $x$의 값은 무엇이고, 그때의 극댓값은 얼마일까요? (위 풀이의 3단계를 참고하여 생각해 보세요.)