어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이해하고, 주어진 조건들을 이용해 특정 항의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = a \cdot r^{n-1}$입니다.
- 항 사이의 관계: 등비수열에서 임의의 두 항 $a_m$과 $a_n$ 사이에는 $a_n = a_m \cdot r^{n-m}$이라는 관계가 성립합니다.
- 조건 해석 ("모든 항이 양수"): 모든 항이 양수라는 것은 첫째항 $a > 0$이고, 공비 $r > 0$임을 의미합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건을 등비수열의 식(일반항)으로 나타내기
등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 합시다. 문제에서 모든 항이 양수라고 했으므로 $a > 0, r > 0$입니다.
이제 문제에서 주어진 조건들을 $a$와 $r$을 사용한 식으로 써봅시다.
- 첫 번째 조건: $a_2 = 36$
$$a \cdot r = 36 \quad \text{--- (1)}$$
- 두 번째 조건: $a_7 = \frac{1}{3}a_5$
$$a \cdot r^6 = \frac{1}{3} \cdot (a \cdot r^4) \quad \text{--- (2)}$$
2단계: 식을 정리하여 공비 $r$의 값 구하기
식 (2)를 정리해서 공비 $r$에 대한 정보를 얻어봅시다.
$$a \cdot r^6 = \frac{1}{3} a \cdot r^4$$
양변을 $a \cdot r^4$로 나누어 줍니다. (모든 항이 양수이므로 $a \neq 0, r \neq 0$입니다. 따라서 나눌 수 있습니다.)
$$r^2 = \frac{1}{3}$$
모든 항이 양수이므로 공비 $r$도 양수여야 합니다 ($r > 0$).
따라서 $r = \frac{1}{\sqrt{3}}$이 됩니다.
*(참고: 여기서는 $r^2 = \frac{1}{3}$ 자체를 그대로 이용하는 것이 계산에 더 편리합니다!)*
3단계: 구하고자 하는 $a_6$의 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $a_6$입니다.
$a_6$을 첫째항부터 구해도 되지만, 이미 알고 있는 $a_2$를 이용하면 훨씬 빠르게 구할 수 있습니다.
등비수열의 성질에 의해 $a_6$은 $a_2$에 공비 $r$을 4번 곱한 것과 같습니다.
$$a_6 = a_2 \cdot r^4$$
우리는 $a_2 = 36$이라는 것과 $r^2 = \frac{1}{3}$이라는 것을 알고 있습니다.
$r^4$은 $(r^2)^2$이므로 다음과 같이 대입할 수 있습니다.
$$r^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$
이제 이 값을 $a_6$ 식에 대입해 봅시다.
$$a_6 = 36 \cdot \frac{1}{9} = 4$$
답
$$4$$
확인해보기
공비가 $r$인 등비수열에서 $a_3 = 12$이고 $a_5 = 48$이며 모든 항이 양수일 때, 이 수열의 공비 $r$의 값은 얼마일까요? (위에서 배운 항 사이의 관계를 생각하며 스스로 풀어보세요!)