어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점의 속도 그래프가 주어졌을 때, 조건들을 이용해 식을 완성하고 특정 시간 동안의 위치의 변화량을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 속도와 위치의 관계: 속도 $v(t)$를 적분하면 위치 $x(t)$를 얻을 수 있습니다.
- 부정적분과 적분상수: 적분할 때 생기는 상수($C$)와 문제의 미지수($k$)를 주어진 단서($t=0$과 $t=1$에서의 위치)로 구합니다.
- 위치의 변화량: 시각 $t=a$에서 $t=b$까지의 위치의 변화량은 나중 위치에서 처음 위치를 뺀 값, 즉 $x(b) - x(a)$이며, 이는 정적분 $\int_{a}^{b} v(t) dt$와 같습니다.
단계별 풀이
1단계: 속도 식을 적분하여 위치 식 $x(t)$ 구하기
속도는 위치의 시간당 변화율(미분)이므로, 반대로 속도 $v(t)$를 적분하면 위치 $x(t)$를 구할 수 있습니다.
$$x(t) = \int v(t) dt = \int (3t^2 - 4t + k) dt$$
이 식을 적분해 봅시다.
$$x(t) = t^3 - 2t^2 + kt + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
2단계: 주어진 조건을 이용해 상수 $C$와 $k$ 구하기
문제에서 두 가지 아주 중요한 단서를 주었습니다.
- 단서 1: 시각 $t=0$에서 점 $\text{P}$의 위치는 $0$이다.
즉, $x(0) = 0$입니다. 1단계에서 구한 식에 $t=0$을 대입해 봅시다.
$$x(0) = 0^3 - 2(0)^2 + k(0) + C = 0 \implies C = 0$$
따라서 위치 식은 $x(t) = t^3 - 2t^2 + kt$가 됩니다.
- 단서 2: 시각 $t=1$에서 점 $\text{P}$의 위치는 $-3$이다.
즉, $x(1) = -3$입니다. 식에 $t=1$을 대입해 봅시다.
$$x(1) = 1^3 - 2(1)^2 + k(1) = -3$$
$$1 - 2 + k = -3$$
$$-1 + k = -3 \implies k = -2$$
이로써 완벽한 위치의 식을 찾았습니다!
$$x(t) = t^3 - 2t^2 - 2t$$
3단계: $t=1$에서 $t=3$까지의 위치의 변화량 구하기
'위치의 변화량'은 말 그대로 "나중 위치에서 처음 위치를 얼마나 이동했는가"를 뜻합니다. 따라서 $t=3$에서의 위치 $x(3)$에서 $t=1$에서의 위치 $x(1)$을 빼주면 됩니다.
- $t=1$에서의 위치는 문제에서 이미 $x(1) = -3$이라고 알려주었습니다.
- $t=3$에서의 위치 $x(3)$을 구해봅시다.
$$x(3) = 3^3 - 2(3)^2 - 2(3)$$
$$x(3) = 27 - 18 - 6 = 3$$
따라서 위치의 변화량은 다음과 같습니다.
$$\text{위치의 변화량} = x(3) - x(1) = 3 - (-3) = 6$$
*(참고: 정적분을 이용해 $\int_{1}^{3} v(t) dt$를 계산해도 똑같이 $6$이 나옵니다!)*
답
$$6$$
확인해보기
시각 $t=1$에서 $t=3$까지 점 $\text{P}$의 '위치의 변화량'과 점 $\text{P}$가 '실제로 움직인 거리(이동 거리)'는 서로 같을까요? 만약 다르다면, 그 이유는 무엇일까요? (힌트: 속도 $v(t)$의 부호 변화를 생각해보세요.)