어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$와 함수 위의 한 점의 함숫값 $f(1)$이 주어졌을 때, 원래 함수 $f(x)$를 찾아내어 $f(2)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 도함수 $f'(x)$를 원래 함수 $f(x)$로 되돌리는 연산입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 부정적분을 할 때 생기는 상수항으로, 주어진 함숫값 $f(1)=1$을 대입하여 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$의 식 구하기
미분해서 $3x^2 - 2x$가 되는 원래 함수 $f(x)$를 찾기 위해 부정적분을 합니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (3x^2 - 2x) \, dx$$
다항함수의 적분 공식($\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$)을 적용해 볼까요?
- $3x^2$을 적분하면: $3 \times \frac{1}{3}x^3 = x^3$
- $-2x$를 적분하면: $-2 \times \frac{1}{2}x^2 = -x^2$
여기에 적분상수 $C$를 붙여주면 $f(x)$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$f(x) = x^3 - x^2 + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
2단계: 조건 $f(1) = 1$을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
아직 $C$가 무슨 수인지 모르지만, 문제에서 $f(1) = 1$이라는 힌트를 주었습니다. 1단계에서 구한 식에 $x = 1$을 대입해 봅시다.
$$f(1) = 1^3 - 1^2 + C = 1$$
$$1 - 1 + C = 1$$
$$C = 1$$
적분상수 $C$가 $1$이라는 것을 알아냈습니다! 따라서 완벽한 함수 $f(x)$의 식은 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 - x^2 + 1$$
3단계: $f(2)$의 값 계산하기
이제 우리가 구하고자 하는 $f(2)$의 값을 구하기 위해 $x = 2$를 대입합니다.
$$f(2) = 2^3 - 2^2 + 1$$
$$f(2) = 8 - 4 + 1$$
$$f(2) = 5$$
답
**⑤ $5$**
확인해보기
만약 이 문제에서 다른 조건은 모두 같고, $f(1) = 1$ 대신 **$f(0) = 3$**이라는 조건이 주어졌다면, 함수 $f(x)$와 최종 답 $f(2)$는 각각 어떻게 변할지 스스로 계산해 보세요!