어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 미분과 함수의 극값(극대·극소) 조건의 개념을 결합한 고난도 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: 적분기호 안에 변수 $x$와 $t$가 섞여 있을 때, 이를 분리하여 미분하는 방법
- 극값의 조건: 함수가 극값을 갖기 위해서는 도함수의 부호가 바뀌어야 한다는 성질
- 피적분 함수의 성질: 실수의 짝수 거듭제곱($\{f(t)\}^4 \ge 0$)이 항상 0 이상이라는 성질을 이용한 그래프의 개형 파악
단계별 풀이
1단계: 함수 $g(x)$를 미분하기 좋게 정리하기
주어진 식 $g(x)$의 적분 기호 안을 보면 변수 $x$와 $t$가 섞여 있습니다. 적분 변수는 $t$이므로, $t$의 입장에서 $f(x)$는 상수 취급을 받습니다. 따라서 $f(x)$를 적분 기호 밖으로 꺼내기 위해 식을 먼저 전개해 봅시다.
$$g(x) = \int_{a}^{x} \{f(x) - f(t)\} \{f(t)\}^4 dt$$
$$g(x) = \int_{a}^{x} \left[ f(x)\{f(t)\}^4 - \{f(t)\}^5 \right] dt$$
이제 적분의 성질을 이용해 두 개의 인테그랄로 나누고, $f(x)$를 앞으로 꺼냅니다.
$$g(x) = f(x) \int_{a}^{x} \{f(t)\}^4 dt - \int_{a}^{x} \{f(t)\}^5 dt$$
이렇게 정리하면 양변을 $x$에 대해 미분할 준비가 끝났습니다!
2단계: $g(x)$의 도함수 $g'(x)$ 구하기
곱의 미분법과 정적분으로 정의된 함수의 미분 공식($\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} h(t)dt = h(x)$)을 사용하여 양변을 $x$로 미분해 봅시다.
$$g'(x) = f'(x) \int_{a}^{x} \{f(t)\}^4 dt + f(x) \cdot \{f(x)\}^4 - \{f(x)\}^5$$
우변의 뒷부분을 계산하면 $f(x) \cdot \{f(x)\}^4 = \{f(x)\}^5$가 되므로, 서로 소거됩니다.
$$g'(x) = f'(x) \int_{a}^{x} \{f(t)\}^4 dt$$
아주 깔끔한 도함수 식을 얻었습니다!
3단계: $f'(x)$와 적분 부분 분석하기
이제 $g'(x)$의 구성 요소를 하나씩 뜯어봅시다.
**① $f'(x)$ 분석**
주어진 $f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x + 3$을 미분하면,
$$f'(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 3(x-3)(x-5)$$
즉, $f'(x)$는 $x=3$과 $x=5$에서 부호가 바뀝니다.
**② 적분 부분 $h(x) = \int_{a}^{x} \{f(t)\}^4 dt$ 분석**
피적분 함수인 $\{f(t)\}^4$은 실수의 4제곱이므로 항상 $0$ 이상입니다. ($f(t)=0$인 지점이 있더라도 연속함수이므로 넓이에는 영향을 주지 않습니다.)
따라서 $h(x)$는 실수 전체에서 단조 증가하는 함수입니다.
- $x > a$ 이면, $h(x) > 0$
- $x = a$ 이면, $h(x) = 0$
- $x < a$ 이면, $h(x) < 0$ (적분 구간이 뒤집히므로 부호가 음수가 됩니다.)
즉, $h(x)$는 **$x=a$에서 딱 한 번만 부호가 바뀝니다** (음수에서 양수로).
4단계: 오직 하나의 극값을 가질 조건 찾기
함수 $g(x)$가 극값을 가지려면 도함수인 $g'(x) = 3(x-3)(x-5)h(x)$의 부호가 바뀌는 지점이 오직 하나만 존재해야 합니다.
현재 부호가 바뀔 후보는 $x=3$, $x=5$, $x=a$ 세 곳입니다.
만약 $a$가 $3$도 아니고 $5$도 아니라면, $g'(x)$는 이 세 지점 모두에서 부호가 바뀌어 총 3개의 극값을 갖게 됩니다.
따라서 극값이 오직 하나만 존재하려면, 부호 변화가 일어나는 지점끼리 겹쳐서 부호 변화가 상쇄(중근 효과)되어야 합니다.
- **경우 1: $a = 3$인 경우**
$g'(x) = 3(x-3)(x-5)h(x)$에서 $x=3$ 근처를 보면, $(x-3)$도 부호가 바뀌고 $h(x)$도 $x=3$에서 부호가 바뀝니다. 두 부호 변화가 곱해지면서 $x=3$ 좌우에서 $g'(x)$의 부호는 변하지 않게 됩니다.
반면, $x=5$에서는 $(x-5)$만 부호가 바뀌므로 **$x=5$에서만 유일하게 극값**을 갖습니다. (조건 만족!)
- **경우 2: $a = 5$인 경우**
마찬가지로 $x=5$에서 부호 변화가 상쇄되고, **$x=3$에서만 유일하게 극값**을 갖게 됩니다. (조건 만족!)
따라서 조건을 만족하는 실수 $a$의 값은 $3$과 $5$뿐입니다.
답
모든 실수 $a$의 값의 합은
$$3 + 5 = 8$$
입니다.
확인해보기
위에서 설명한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 단계별 풀이의 3단계에서 함수 $h(x) = \int_{a}^{x} \{f(t)\}^4 dt$가 $x=a$를 기준으로 좌우에서 부호가 바뀐다고 했습니다. 만약 피적분 함수가 $\{f(t)\}^4$이 아니라 $\{f(t)\}^3$이었다면, $h(x)$는 여전히 $x=a$에서만 부호가 바뀌는 증가함수라고 단정 지을 수 있을까요? 그 이유는 무엇일까요?