어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건을 만족하는 이차함수 $f(x)$가 존재하도록 하는 자연수 $n$의 값을 찾는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 이해해야 합니다.
- 거듭제곱근의 실근의 개수: $x^n = a$라는 방정식에서 $n$이 홀수일 때와 짝수일 때 실근의 개수가 어떻게 달라지는지 이해해야 합니다.
- 방정식의 중근(다중근)의 의미: 전체 방정식의 근이 '서로 다른 두 실근이고 각각이 중근'이 되려면, 두 식 $x^n - 64 = 0$과 $f(x) = 0$의 근이 어떻게 겹쳐야 하는지 파악해야 합니다.
- 이차함수의 최솟값: 최고차항의 계수가 양수인 이차함수의 최솟값이 갖는 성질을 이용해 $n$의 조건을 구체화합니다.
단계별 풀이
1단계: 방정식 $(x^n - 64)f(x) = 0$의 근의 구조 분석하기
이 방정식이 성립하려면 $x^n - 64 = 0$이거나 $f(x) = 0$이어야 합니다.
즉, 전체 방정식의 실근은 $x^n = 64$의 실근과 이차방정식 $f(x) = 0$의 실근을 합친 것입니다.
조건 (가)에서 "서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다"라고 했습니다. 이 말은 전체 방정식이 다음과 같은 형태로 인수분해되어야 함을 뜻합니다.
$$(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 = 0 \quad (\alpha \neq \beta)$$
여기서 $n$이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 생각해 봅시다.
- **경우 1: $n$이 홀수일 때**
$x^n = 64$의 실근은 오직 하나($x = 2^{6/n}$)뿐입니다.
이차방정식 $f(x) = 0$은 많아야 2개의 실근을 가집니다.
만약 전체 방정식이 서로 다른 두 실근을 갖고 각각 중근이 되려면, $x^n = 64$의 실근 하나와 $f(x)=0$의 실근들이 겹쳐야 합니다. 하지만 $x^n=64$의 근이 1개뿐이므로, 아무리 조합해도 '서로 다른 두 실근이 모두 중근'이 되는 구조를 만들 수 없습니다. (직접 조합해 보면 한 근은 3중근이 되거나, 다른 한 근은 단일근이 됩니다.)
따라서 **$n$은 홀수가 될 수 없습니다.**
- **경우 2: $n$이 짝수일 때**
$n$이 짝수이면 $x^n = 64$는 서로 다른 두 실근을 가집니다.
$$x = \pm 64^{1/n} = \pm 2^{6/n}$$
이 두 실근을 각각 $\alpha, -\alpha$라고 합시다 ($\alpha = 2^{6/n}$).
이 두 근이 전체 방정식에서 각각 '중근'이 되려면, 이차방정식 $f(x) = 0$ 역시 정확히 이 두 근 $\alpha$와 $-\alpha$를 근으로 가져야 합니다!
그래야 $(x^n-64)$에서 각각 한 번씩 나오고, $f(x)$에서 각각 한 번씩 나와서 총 두 번씩 곱해진 형태가 되기 때문입니다.
따라서 $n$은 짝수여야 하며, 이때 이차함수 $f(x)$는 다음과 같이 결정됩니다.
$$f(x) = (x-\alpha)(x+\alpha) = x^2 - \alpha^2$$
2단계: 조건 (나)를 이용하여 $n$의 조건 구하기
함수 $f(x) = x^2 - \alpha^2$은 아래로 볼록한 포물선입니다. 이 함수의 최솟값은 $x=0$일 때 가집니다.
$$\text{최솟값} = f(0) = -\alpha^2$$
조건 (나)에서 이 최솟값이 음의 정수라고 했습니다.
$-\alpha^2$이 음의 정수이므로, $\alpha^2$은 양의 정수(자연수)가 되어야 합니다.
앞서 구한 $\alpha = 2^{6/n}$을 대입해 봅시다.
$$\alpha^2 = \left(2^{6/n}\right)^2 = 2^{12/n}$$
$2^{12/n}$이 자연수가 되려면, 지수인 $\frac{12}{n}$가 0 또는 양의 정수가 되어야 합니다.
$n$은 자연수이므로, $\frac{12}{n}$는 자연수여야 합니다. 즉, **$n$은 12의 약수**여야 합니다.
3단계: 공통 조건 만족하는 $n$ 구하기
우리가 찾은 $n$의 조건은 다음과 같습니다.
- $n$은 짝수여야 한다. (1단계)
- $n$은 12의 약수여야 한다. (2단계)
12의 약수 $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ 중에서 짝수인 것을 고르면 다음과 같습니다.
$$n = 2, 4, 6, 12$$
이 값들의 합을 구하면 됩니다.
$$\text{합} = 2 + 4 + 6 + 12 = 24$$
답
$$24$$
확인해보기
만약 조건 (나)에서 최솟값이 '음의 정수'가 아니라 '음의 유리수'가 되도록 하는 자연수 $n$의 조건을 구한다면, $n$은 어떤 수들의 집합이 되어야 할까요? (힌트: $2^{12/n}$이 유리수가 되기 위한 지수의 조건을 생각해 보세요.)