어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하고, 이를 통해 $f(0)$의 값을 찾는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼차방정식의 실근의 개수와 그래프: 삼차방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2개라는 것은, $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 한 점에서는 접하고 다른 한 점에서는 뚫고 지나간다는 뜻입니다.
- 합성함수 형태의 방정식 해석: $f(x - f(x)) = 0$과 같은 식은 $x - f(x) = t$로 치환하여 단계별로 해석합니다.
- 접선의 방정식과 미분: $f'(1) = 1$과 $f(1) = 4$라는 조건은 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, 4)$에서의 접선의 기울기가 $1$임을 알려줍니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 통해 $f(x)=0$의 근 정의하기
조건 (가)에서 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2개라고 했습니다. 이 두 근을 각각 $\alpha, \beta$ ($\alpha \neq \beta$)라고 해봅시다.
즉, 다음이 성립합니다.
$$f(x) = 0 \iff x = \alpha \text{ 또는 } x = \beta$$
2단계: 조건 (나)를 치환을 통해 해석하기
방정식 $f(x - f(x)) = 0$을 해결하기 위해, 괄호 안의 식을 $t = x - f(x)$로 치환해 봅시다.
그러면 방정식은 $f(t) = 0$이 됩니다.
1단계에서 $f(t) = 0$을 만족하는 $t$값은 $\alpha$와 $\beta$뿐이라고 했으므로, 다음 두 식을 얻을 수 있습니다.
$$x - f(x) = \alpha \quad \text{또는} \quad x - f(x) = \beta$$
이를 $f(x)$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = x - \alpha \quad \text{또는} \quad f(x) = x - \beta$$
즉, 조건 (나)의 '서로 다른 실근의 개수가 3개'라는 말은 **곡선 $y = f(x)$와 두 직선 $y = x - \alpha$, $y = x - \beta$의 교점의 개수의 합이 총 3개**라는 뜻입니다.
3단계: 두 직선과 삼차함수의 위치 관계 파악하기
두 직선 $y = x - \alpha$와 $y = x - \beta$는 기울기가 모두 $1$로 서로 평행합니다.
또한, $f(\alpha) = 0$이므로 직선 $y = x - \alpha$는 항상 점 $(\alpha, 0)$을 지납니다. 마찬가지로 $y = x - \beta$는 점 $(\beta, 0)$을 지납니다. 즉, 두 직선은 각각 $f(x)$의 $x$절편을 지나는 직선들입니다.
기울기가 같은 두 평행한 직선이 삼차함수 그래프와 만나는 교점의 개수의 합이 3개가 되려면 어떤 상황이어야 할까요?
삼차함수와 직선은 최대 3개의 점에서 만날 수 있습니다. 두 평행선과의 교점 합이 3개가 되려면, 한 직선과는 2개의 점(접할 때)에서 만나고, 다른 한 직선과는 1개의 점에서 만나야만 합니다. (만약 한쪽이 3개면 다른 쪽은 최소 1개이므로 합이 4개 이상이 됩니다.)
따라서 두 직선 중 하나는 반드시 곡선 $y = f(x)$에 접하는 접선이어야 합니다!
4단계: 주어진 값($f(1)=4, f'(1)=1$)으로 식 세우기
문제에서 $f'(1) = 1$이라고 주어졌습니다. 이는 $x=1$에서의 접선의 기울기가 $1$이라는 뜻입니다.
이 접선의 방정식을 구해보면, 점 $(1, 4)$를 지나고 기울기가 $1$이므로 다음과 같습니다.
$$y - 4 = 1(x - 1) \implies y = x + 3$$
이 접선 $y = x + 3$이 바로 우리가 찾던 두 직선 중 하나인 $y = x - \alpha$ (또는 $y = x - \beta$)가 되어야 합니다.
편의상 이를 $y = x - \alpha$라고 하면, $-\alpha = 3$이므로 **$\alpha = -3$**을 얻게 됩니다.
즉, $y = x + 3$은 $x=1$에서 $y=f(x)$에 접하므로, 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다. (삼차항의 계수를 $a$라 하고, 다른 한 실근을 $k$라 합시다.)
$$f(x) - (x + 3) = a(x - 1)^2 (x - k)$$
$$f(x) = a(x - 1)^2 (x - k) + x + 3$$
5단계: 미지수 $a$와 $k$ 구하기
우리는 $\alpha = -3$이 $f(x) = 0$의 근이라는 것을 알고 있습니다. 즉, $f(-3) = 0$입니다.
위 식에 $x = -3$을 대입해 봅시다.
$$f(-3) = a(-3 - 1)^2 (-3 - k) + (-3) + 3 = 0$$
$$16a(-3 - k) = 0$$
삼차함수이므로 $a \neq 0$입니다. 따라서 **$k = -3$**이어야 합니다.
이를 대입하여 $f(x)$를 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$f(x) = a(x - 1)^2 (x + 3) + x + 3$$
공통인수 $(x+3)$으로 묶어 정리해 봅시다.
$$f(x) = (x + 3) [ a(x - 1)^2 + 1 ]$$
이제 조건 (가)를 다시 적용해 봅시다. $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2개여야 합니다.
이미 $x = -3$이라는 실근이 있으므로, 대괄호 안의 이차식 $a(x-1)^2 + 1 = 0$이 다음 중 하나를 만족해야 합니다.
- $x = -3$을 근으로 가진다.
- 중근을 가진다. (하지만 $a(x-1)^2 + 1 = 0$이 중근을 가지려면 $1=0$이 되어야 하므로 불가능합니다.)
따라서 $x = -3$이 $a(x-1)^2 + 1 = 0$의 근이어야 합니다. 대입해 볼까요?
$$a(-3 - 1)^2 + 1 = 0 \implies 16a + 1 = 0 \implies a = -\frac{1}{16}$$
구한 $a$값을 대입하여 $f(x)$를 완성해 봅시다.
$$f(x) = -\frac{1}{16}(x - 1)^2 (x + 3) + (x + 3)$$
$$f(x) = -\frac{1}{16}(x + 3) [ (x - 1)^2 - 16 ]$$
$$f(x) = -\frac{1}{16}(x + 3)(x - 5)(x + 3) = -\frac{1}{16}(x + 3)^2 (x - 5)$$
이때 $f(x)=0$의 두 근은 $\alpha = -3$, $\beta = 5$가 됩니다.
6단계: 조건 검증 및 최종 계산
마지막 조건인 $f'(0) > 1$을 만족하는지 확인해 봅시다. 곱의 미분법을 사용합니다.
$$f'(x) = -\frac{1}{16} \left[ 2(x+3)(x-5) + (x+3)^2 \right]$$
$$f'(0) = -\frac{1}{16} \left[ 2(3)(-5) + 9 \right] = -\frac{1}{16} [-30 + 9] = \frac{21}{16}$$
$\frac{21}{16} > 1$이므로 조건 $f'(0) > 1$을 아주 잘 만족합니다!
이제 우리가 구하고자 하는 $f(0)$의 값을 계산해 봅시다.
$$f(0) = -\frac{1}{16}(0 + 3)^2 (0 - 5) = -\frac{1}{16}(9)(-5) = \frac{45}{16}$$
따라서 $p = 16$, $q = 45$이며, 두 수는 서로소인 자연수입니다.
최종 구하는 값은 $p + q$이므로,
$$p + q = 16 + 45 = 61$$
답
$$61$$
확인해보기
풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 5단계에서 $f(x) = (x + 3) [ a(x - 1)^2 + 1 ]$의 실근의 개수가 2개가 되기 위해 $a(x-1)^2 + 1 = 0$이 $x = -3$을 근으로 가져야만 했습니다. 만약 $a > 0$이어서 이 이차방정식이 실근을 전혀 갖지 않는다면, 원래 함수 $f(x) = 0$의 실근의 개수는 몇 개가 되며, 이는 조건 (가)에 어떻게 위배되나요?