어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하고, 이를 통해 $f(0)$의 값을 찾는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼차방정식의 실근의 개수와 그래프: 삼차방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2개라는 것은, $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 한 점에서는 접하고 다른 한 점에서는 뚫고 지나간다는 뜻입니다.
- 합성함수 형태의 방정식 해석: $f(x - f(x)) = 0$과 같은 식은 $x - f(x) = t$로 치환하여 단계별로 해석합니다.
- 접선의 방정식과 미분: $f'(1) = 1$과 $f(1) = 4$라는 조건은 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, 4)$에서의 접선의 기울기가 $1$임을 알려줍니다.
단계별 풀이
1단계: 중근과 단일근을 구별하여 식을 세우기
조건 (가)에서 중근을 $r$, 단일근을 $s$라 하면
$$f(x)=A(x-r)^2(x-s),\qquad A\ne0,\quad r\ne s$$
입니다. 조건 (나)는 $x-f(x)=r$ 또는 $x-f(x)=s$의 서로 다른 실근 수가 합하여 $3$이라는 뜻입니다. 두 방정식의 근은 서로 겹치지 않습니다.
각 식을 인수분해하면
$$x-f(x)-r=(x-r)\{1-A(x-r)(x-s)\},$$
$$x-f(x)-s=(x-s)\{1-A(x-r)^2\}$$
입니다.
2단계: 실근 개수 조건으로 최고차항의 계수 구하기
$A>0$이면 첫 번째 식의 이차인수는 서로 다른 두 실근을 가지며 $r$과 겹치지 않습니다. 따라서 첫 번째 방정식만 이미 세 실근을 가지므로 불가능합니다.
그러므로 $A<0$입니다. 이때 두 번째 식의 중괄호는 항상 양수여서 근이 $s$ 하나뿐입니다. 첫 번째 방정식의 근은 정확히 두 개여야 하므로 이차인수가 중근을 가져야 합니다. 이차방정식
$$(x-r)(x-s)=\frac1A$$
의 판별식이 $0$이라는 조건은
$$(r-s)^2+\frac4A=0$$
입니다. $d=s-r$로 놓으면 $A=-4/d^2$입니다.
3단계: $f(1)$과 $f'(1)$로 가능한 경우 찾기
$u=(1-r)/d$라 놓으면
$$f(1)=4du^2(1-u)=4,$$
$$f'(1)=-4u(3u-2)=1$$
입니다. 두 번째 식에서
$$12u^2-8u+1=0\quad\Longrightarrow\quad u=\frac12\ \text{또는}\ \frac16.$$
- $u=1/2$이면 $d=8$, $r=1-du=-3$, $s=5$입니다. 따라서 $f(x)=-(x+3)^2(x-5)/16$입니다.
- $u=1/6$이면 $d=216/5$, $r=-31/5$, $s=37$, $A=-25/11664$입니다. 이 경우 $f'(0)=10509/11664<1$이므로 주어진 조건을 만족하지 않습니다.
기울기가 $1$인 접선은 둘일 수 있으므로, $x=1$의 접선이 곧바로 조건 (나)의 접선이라고 단정하면 이 두 번째 경우를 놓치게 됩니다. 여기서는 $f'(0)>1$ 조건까지 사용해 첫 번째 경우만 남깁니다.
4단계: 조건을 확인하고 $f(0)$ 구하기
남은 함수에서는 $f'(0)=21/16>1$입니다. 또한
$$x-f(x)+3=\frac{(x+3)(x-1)^2}{16},$$
$$x-f(x)-5=(x-5)\left\{1+\frac{(x+3)^2}{16}\right\}$$
이므로 조건 (나)의 서로 다른 실근은 $-3,1,5$의 세 개입니다.
따라서
$$f(0)=-\frac1{16}\cdot9\cdot(-5)=\frac{45}{16}.$$
답
$$p+q=16+45=61$$
확인해보기
3단계의 두 후보 중 두 번째 함수도 $f(1)=4$, $f'(1)=1$과 조건 (가), (나)를 만족합니다. 어떤 조건이 이 후보를 제외하는지 설명해 보세요.