어떤 문제인가
이 문제는 주어진 탄젠트($\tan\theta$)의 값과 각 $\theta$의 범위를 이용하여 사인($\sin\theta$)과 코사인($\cos\theta$)의 값을 구하고, 그 둘의 합을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다:
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 각 $\theta$가 몇 사분면에 있느냐에 따라 $\sin$, $\cos$, $\tan$의 부호($+$ 또는 $-$)가 결정됩니다.
- 직각삼각형을 이용한 삼각비의 관계: $\tan\theta$의 값을 알면 직각삼각형의 밑변과 높이의 비율을 알 수 있으므로, 피타고라스 정리를 통해 빗변의 길이를 구해 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 크기(절댓값)를 알아낼 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 각 $\theta$가 몇 사분면의 각인지 확인하고 삼각함수의 부호 결정하기
문제에서 각 $\theta$의 범위가 다음과 같이 주어졌습니다.
$$\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$$
이 범위는 좌표평면에서 제3사분면에 해당합니다.
각 사분면별 삼각함수의 부호 규칙(올-사-탄-코)을 떠올려 볼까요?
- 제1사분면: 모두 $+$
- 제2사분면: $\sin$만 $+$
- **제3사분면: $\tan$만 $+$** (즉, $\sin$과 $\cos$은 $-$)
- 제4사분면: $\cos$만 $+$
따라서 우리가 구하고자 하는 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 값은 **둘 다 음수($-$)**가 되어야 합니다.
$$\sin\theta < 0, \quad \cos\theta < 0$$
2단계: 직각삼각형을 그려서 삼각비의 크기(절댓값) 구하기
부호를 잠시 접어두고, 크기만 구하기 위해 예각에 대한 직각삼각형을 그려봅시다.
$\tan\theta = \frac{12}{5}$이므로, 밑변의 길이가 $5$이고 높이가 $12$인 직각삼각형을 생각할 수 있습니다.
피타고라스 정리를 이용하여 이 직각삼각형의 빗변의 길이를 구해봅시다.
$$\text{빗변} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
빗변의 길이가 $13$이므로, $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 절댓값은 다음과 같습니다.
$$|\sin\theta| = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} = \frac{12}{13}$$
$$|\cos\theta| = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}} = \frac{5}{13}$$
3단계: 1단계의 부호를 적용하여 실제 값 구하기
1단계에서 제3사분면의 각이므로 $\sin\theta$와 $\cos\theta$가 모두 음수여야 함을 확인했습니다. 따라서 실제 값은 다음과 같습니다.
$$\sin\theta = -\frac{12}{13}$$
$$\cos\theta = -\frac{5}{13}$$
4단계: 최종 값 계산하기
이제 문제에서 요구한 $\sin\theta + \cos\theta$의 값을 구합니다.
$$\sin\theta + \cos\theta = -\frac{12}{13} + \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{17}{13}$$
답
**① $-\frac{17}{13}$**
확인해보기
만약 문제에서 각의 범위가 제3사분면이 아니라, 제2사분면($\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$)이고 $\tan\theta = -\frac{12}{5}$였다면, $\sin\theta + \cos\theta$의 값은 어떻게 변할지 스스로 계산해 보세요!