어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수의 그래프를 보고, 특정 값으로 가까이 갈 때 함수의 극한값(좌극한과 우극한)을 읽어낼 수 있는지를 묻는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **좌극한 ($\lim_{x \to a-} f(x)$):** $x$가 $a$보다 작은 값(왼쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- **우극한 ($\lim_{x \to a+} f(x)$):** $x$가 $a$보다 큰 값(오른쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 항 $\lim_{x \to 0-} f(x)$ 구하기
먼저 $x \to 0-$ 일 때의 극한값을 구해봅시다. 기호 뒤에 붙은 마이너스($-$)는 좌극한을 의미합니다. 즉, $x$가 $0$보다 작은 쪽(왼쪽)에서 $0$을 향해 가까워질 때 $y$값이 어디로 가는지 그래프를 따라가 보는 것입니다.
- 그래프에서 $x < 0$인 영역(y축의 왼쪽)을 보세요. 점 $(-2, 0)$에서 시작해 점 $(0, -2)$를 향해 내려가는 직선이 보이죠?
- $x$의 값을 왼쪽에서 $0$에 가깝게 붙여갈수록, 그래프 위의 점은 $(0, -2)$를 향해 다가갑니다.
- 따라서 이때의 $y$값(함숫값)이 가까워지는 목표치는 $-2$입니다.
$$\lim_{x \to 0-} f(x) = -2$$
2단계: 두 번째 항 $\lim_{x \to 2+} f(x)$ 구하기
이번에는 $x \to 2+$ 일 때의 극한값을 구해봅시다. 기호 뒤에 붙은 플러스($+$)는 우극한을 의미합니다. 즉, $x$가 $2$보다 큰 쪽(오른쪽)에서 $2$를 향해 가까워질 때 $y$값이 어디로 가는지 그래프를 따라가 봅니다.
- 그래프에서 $x > 2$인 영역을 보세요. 점 $(3, 1)$을 지나며 왼쪽 아래인 $(2, 0)$ 방향으로 내려오는 직선이 보입니다.
- $x$의 값을 오른쪽에서 $2$에 가깝게 붙여갈수록, 그래프 위의 점은 $(2, 0)$을 향해 다가갑니다.
- 비록 $x=2$일 때 그래프에 빈 동그라미(열린 점)가 그려져 있어 함숫값 자체는 정의되어 있지 않거나 다른 값일지라도, 극한값은 '가까워지는 목표치'를 묻는 것이므로 빈 동그라미의 $y$좌표인 $0$이 극한값이 됩니다.
$$\lim_{x \to 2+} f(x) = 0$$
3단계: 두 극한값 더하기
이제 구한 두 값을 더해 최종 답을 구합니다.
$$\lim_{x \to 0-} f(x) + \lim_{x \to 2+} f(x) = -2 + 0 = -2$$
답
**① $-2$**
확인해보기
위 그래프를 보고 다음 질문에 답해 보세요. (스스로 생각해보는 질문입니다.)
> 질문: $x \to 1+$ 일 때의 우극한 값 $\lim_{x \to 1+} f(x)$와 $x=1$에서의 함숫값 $f(1)$은 각각 얼마일까요? 두 값은 서로 같을까요, 다를까요?