어떤 문제인가
이 문제는 두 함수의 곱으로 이루어진 새로운 함수 $g(x)$의 미분계수(접선의 기울기)를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 곱의 미분법: 두 함수 $u(x)$와 $v(x)$가 곱해진 함수를 미분할 때는 각 함수를 번갈아 미분하여 더해줍니다. 즉, $\{u(x)v(x)\}' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ 입니다.
- 미분계수의 계산: 도함수 $g'(x)$를 구한 뒤, 문제에서 요구하는 $x=1$을 대입하여 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 곱의 미분법 적용하기
함수 $g(x)$는 $(x^2 + 3)$이라는 식과 $f(x)$라는 식의 곱으로 이루어져 있습니다.
$$g(x) = (x^2 + 3)f(x)$$
곱의 미분법 공식인 $\{u(x)v(x)\}' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$를 적용해 봅시다.
여기서 앞의 식을 미분하면 $(x^2 + 3)' = 2x$가 됩니다.
따라서 $g(x)$를 미분한 도함수 $g'(x)$는 다음과 같습니다.
$$g'(x) = (x^2 + 3)' \cdot f(x) + (x^2 + 3) \cdot f'(x)$$
$$g'(x) = 2x \cdot f(x) + (x^2 + 3) \cdot f'(x)$$
2단계: $x = 1$ 대입하기
우리가 구하고자 하는 값은 $g'(1)$이므로, 위에서 구한 $g'(x)$ 식의 모든 $x$ 자리에 $1$을 대입합니다.
$$g'(1) = 2(1) \cdot f(1) + (1^2 + 3) \cdot f'(1)$$
정리하면 다음과 같습니다.
$$g'(1) = 2f(1) + 4f'(1)$$
3단계: 주어진 조건 대입하여 계산하기
문제에서 $f(1) = 2$, $f'(1) = 1$이라고 알려주었습니다. 이 값들을 식에 대입해 봅시다.
$$g'(1) = 2 \cdot (2) + 4 \cdot (1)$$
$$g'(1) = 4 + 4 = 8$$
따라서 구하고자 하는 $g'(1)$의 값은 $8$입니다.
답
③ 8
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 함수 $h(x) = (2x - 1)f(x)$ 이고, $f(2) = 3$, $f'(2) = 5$ 일 때, $h'(2)$의 값은 얼마가 될까요? 직접 공식을 적용해서 계산해 보세요!