어떤 문제인가
이 문제는 이차함수의 그래프(곡선)와 일차함수의 그래프(직선)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 두 그래프의 교점 구하기: 둘러싸인 부분의 시작과 끝(적분 구간)을 찾기 위해 두 식을 같다고 놓고 방정식을 풉니다.
- 그래프의 위아래 관계 파악하기: 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 때는 항상 (위에 있는 식) - (아래에 있는 식)을 정적분해야 합니다.
- 정적분 계산 또는 공식 활용: 정적분의 기본 정리를 이용해 계산하거나, 이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이를 구하는 '특별한 공식'을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 그래프가 만나는 점(교점)의 $x$좌표 구하기
둘러싸인 영역이 어디서부터 어디까지인지 알아야 적분을 할 수 있습니다. 두 식을 같다고 놓고 교점을 찾아봅시다.
$$3x^2 - x = 5x$$
우변의 $5x$를 좌변으로 이항하면,
$$3x^2 - 6x = 0$$
공통인수 $3x$로 묶어줍니다.
$$3x(x - 2) = 0$$
따라서 교점의 $x$좌표는 다음과 같습니다.
$$x = 0 \quad \text{또는} \quad x = 2$$
이 두 값이 바로 우리가 정적분을 계산할 구간인 $[0, 2]$가 됩니다.
2단계: 구간 $[0, 2]$에서 어떤 그래프가 더 위에 있는지 확인하기
구간 $[0, 2]$ 사이에 있는 임의의 값(예: $x=1$)을 대입해서 어떤 값이 더 큰지 비교해 봅시다.
- 직선에 $x=1$ 대입: $y = 5 \times 1 = 5$
- 곡선에 $x=1$ 대입: $y = 3(1)^2 - 1 = 2$
$5 > 2$이므로, 이 구간에서는 **직선 $y=5x$가 곡선 $y=3x^2-x$보다 위**에 있습니다.
3단계: 정적분 식을 세우고 넓이 구하기
넓이 $S$는 위 식에서 아래 식을 뺀 것을 구간 $[0, 2]$에서 정적분하여 구합니다.
$$S = \int_{0}^{2} \{5x - (3x^2 - x)\} \, dx$$
$$S = \int_{0}^{2} (-3x^2 + 6x) \, dx$$
이제 부정적분을 구합니다.
$$\int (-3x^2 + 6x) \, dx = -x^3 + 3x^2 + C$$
위끝 $2$와 아래끝 $0$을 대입하여 계산합니다.
$$S = \left[ -x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{2}$$
$$S = (-2^3 + 3 \times 2^2) - (0)$$
$$S = (-8 + 12) = 4$$
💡 여기서 잠깐! (빠르고 쉬운 공식 꿀팁)
이차곡선 $y=ax^2+bx+c$와 직선이 만나는 두 교점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)라고 할 때, 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 다음 공식으로 아주 쉽게 구할 수 있어요!
$$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$$
이 문제에 적용해 볼까요?
- 이차항의 계수 $a = 3$
- 두 교점 $\alpha = 0, \beta = 2$
$$S = \frac{3}{6}(2 - 0)^3 = \frac{1}{2} \times 8 = 4$$
공식을 사용하니 복잡한 적분 계산 없이도 단 몇 초 만에 답이 나오죠? 시험을 볼 때는 이 공식을 적극적으로 활용해 보세요!
답
정답은 ④ 4 입니다.
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 곡선 $y = -x^2 + 2x$와 직선 $y = -x$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하려고 합니다. 이 두 그래프의 교점의 $x$좌표는 각각 무엇일까요? (직접 방정식을 세워 교점을 구해보세요.)