어떤 문제인가
이 문제는 첫째항이 주어졌을 때, 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용해서 공차를 구하고, 최종적으로 등차수열의 합을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 수열의 합과 일반항의 관계: $S_n - S_{n-1} = a_n$ (단, $n \ge 2$)
- 등차수열의 일반항 공식: $a_n = a_1 + (n-1)d$
- 등차수열의 합 공식: $S_n = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}$
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건 식 간단하게 만들기
문제에서 $a_6 = 2(S_3 - S_2)$라는 식을 주었습니다. 여기서 우변의 $S_3 - S_2$를 먼저 살펴봅시다.
$S_3$은 첫째항부터 3째항까지의 합($a_1 + a_2 + a_3$)이고, $S_2$는 첫째항부터 2째항까지의 합($a_1 + a_2$)입니다.
따라서 3항까지의 합에서 2항까지의 합을 빼면 딱 3번째 항만 남게 됩니다.
$$S_3 - S_2 = a_3$$
이 성질을 이용해 문제의 식을 다시 쓰면 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$a_6 = 2a_3$$
2단계: 첫째항($a_1 = 2$)과 공차($d$)를 이용해 식 세우기
이제 등차수열의 일반항 공식을 이용해 $a_6$과 $a_3$을 첫째항 $a_1 = 2$와 공차 $d$로 나타내 봅시다.
- $a_6 = a_1 + 5d = 2 + 5d$
- $a_3 = a_1 + 2d = 2 + 2d$
이 식들을 1단계에서 구한 $a_6 = 2a_3$에 대입해 줍니다.
$$2 + 5d = 2(2 + 2d)$$
괄호를 풀어서 정리해 볼까요?
$$2 + 5d = 4 + 4d$$
양변에서 $4d$와 $2$를 이항하여 정리하면 공차 $d$를 구할 수 있습니다.
$$5d - 4d = 4 - 2$$
$$d = 2$$
이 수열은 첫째항이 $2$이고, 공차도 $2$인 등차수열이었네요!
3단계: $S_{10}$의 값 구하기
이제 첫째항 $a_1 = 2$, 공차 $d = 2$, 항의 개수 $n = 10$을 등차수열의 합 공식에 대입하여 마무리 계산을 합니다.
$$S_n = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}$$
$$S_{10} = \frac{10\{2(2) + (10-1)2\}}{2}$$
$$S_{10} = 5 \times \{4 + 9 \times 2\}$$
$$S_{10} = 5 \times \{4 + 18\}$$
$$S_{10} = 5 \times 22 = 110$$
답
② 110
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 어떤 수열의 합 $S_n$에 대하여 $S_{100} - S_{99} = 50$이라는 식을 얻었습니다. 이 식을 통해 우리가 알 수 있는 이 수열의 구체적인 항의 값은 무엇일까요? (기호와 숫자를 함께 써서 표현해 보세요.)