어떤 문제인가
이 문제는 주어진 구간에 따라 다르게 정의된 함수 $f(x)$를 이용하여, 새로운 함수 $\{f(x)\}^2$이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 연속성: 어떤 함수가 특정 지점에서 연속이려면, 그 지점에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.
- 구간별로 정의된 함수의 연속성: 경계선 이외의 구간에서는 이미 연속인 일차함수들이므로, 경계선인 $x = a$에서만 연속이 되도록 조건을 세우면 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 왜 $x = a$만 확인하면 될까요?
함수 $f(x)$를 구성하는 두 식 $-2x+6$과 $2x-a$는 모두 일차함수입니다. 일차함수는 실수 전체에서 끊어지지 않고 부드럽게 이어지는 '연속함수'입니다.
따라서 이 식들을 제곱한 $\{f(x)\}^2$ 역시 $x < a$인 구간과 $x > a$인 구간에서는 무조건 연속입니다. 결국, 함수가 끊어질 가능성이 있는 유일한 지점은 식의 정의가 바뀌는 경계점인 **$x = a$**뿐입니다.
즉, 우리는 **$x = a$에서 $\{f(x)\}^2$이 연속이 되도록** 식을 세우면 됩니다.
2단계: $x = a$에서의 좌극한, 우극한, 함숫값 구하기
함수 $\{f(x)\}^2$이 $x = a$에서 연속이려면 다음 조건이 성립해야 합니다.
$$\lim_{x \to a^-} \{f(x)\}^2 = \lim_{x \to a^+} \{f(x)\}^2 = \{f(a)\}^2$$
각각의 값을 $a$에 대한 식으로 나타내 봅시다.
- **좌극한 ($\lim_{x \to a^-} \{f(x)\}^2$)**:
$x$가 $a$보다 작은 쪽에서 가까워지므로 $f(x) = -2x+6$을 사용합니다.
$$\lim_{x \to a^-} \{f(x)\}^2 = (-2a+6)^2$$
- **우극한 ($\lim_{x \to a^+} \{f(x)\}^2$) 및 함숫값 ($\{f(a)\}^2$)**:
$x$가 $a$보다 크거나 같은 쪽에서 가까워지므로 $f(x) = 2x-a$를 사용합니다.
$$\lim_{x \to a^+} \{f(x)\}^2 = \{f(a)\}^2 = (2a-a)^2 = a^2$$
3단계: 연속 조건으로 방정식 세우고 풀기
좌극한과 우극한(함숫값)이 서로 같아야 하므로, 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다.
$$(-2a+6)^2 = a^2$$
이 방정식을 풀어봅시다. 양변의 제곱을 벗기면 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다.
**경우 1) $-2a+6 = a$ 일 때**
$$3a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 2$$
**경우 2) $-2a+6 = -a$ 일 때**
$$a = 6$$
따라서 함수 $\{f(x)\}^2$이 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 값은 $2$와 $6$입니다.
4단계: 모든 상수 $a$의 값의 합 구하기
문제에서 요구한 것은 모든 상수 $a$의 값의 합이므로, 구한 두 값을 더합니다.
$$2 + 6 = 8$$
답
④ 8
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 문제에서 $\{f(x)\}^2$이 아니라, **함수 $f(x)$ 자체가** $x=a$에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하라고 했다면, $a$의 값은 무엇이 되어야 할까요? (위 풀이의 3단계를 참고하여 생각해 보세요!)