어떤 문제인가
이 문제는 주어진 규칙(귀납적 정의)에 따라 변하는 수열의 성질을 이해하고, 특정 항의 값을 이용해 다른 항들의 합을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 수열의 귀납적 정의: 이웃하는 항들 사이의 관계식을 통해 수열의 각 항을 차례대로 구하는 방법입니다.
- 수열의 주기성: 규칙을 반복해서 적용하다 보면 일정한 규칙으로 항들이 반복되는 '주기'를 발견할 수 있습니다.
특히 이 문제에서는 $n$이 홀수일 때와 짝수일 때 적용하는 규칙이 다르므로, 차근차근 대입하며 규칙성을 찾는 것이 중요합니다.
단계별 풀이
1단계: 첫째항을 문자로 두고, 규칙에 따라 몇 개의 항을 직접 구해보기
수열의 첫째항을 $a_1 = a$라고 두고, 문제에 주어진 규칙을 적용해 봅시다.
여기서 주의할 점은 **$a_{n+1}$을 구할 때 $n$이 홀수인지 짝수인지**를 보아야 한다는 것입니다.
- **$n=1$ (홀수) 일 때**:
$$a_2 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a}$$
- **$n=2$ (짝수) 일 때**:
$$a_3 = 8a_2 = 8 \times \frac{1}{a} = \frac{8}{a}$$
- **$n=3$ (홀수) 일 때**:
$$a_4 = \frac{1}{a_3} = \frac{1}{\frac{8}{a}} = \frac{a}{8}$$
- **$n=4$ (짝수) 일 때**:
$$a_5 = 8a_4 = 8 \times \frac{a}{8} = a$$
2단계: 수열의 주기성 발견하기
방금 구한 값들을 순서대로 나열해 볼까요?
$$a_1 = a$$
$$a_2 = \frac{1}{a}$$
$$a_3 = \frac{8}{a}$$
$$a_4 = \frac{a}{8}$$
$$a_5 = a$$
다섯 번째 항인 $a_5$에서 다시 첫째항인 $a$로 돌아왔습니다!
이 수열은 4개의 항을 주기로 똑같은 값이 반복되는 주기수열입니다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대하여 다음이 성립합니다.
$$a_{n+4} = a_n$$
3단계: 주어진 조건 $a_{12} = \frac{1}{2}$을 이용하여 $a_4$와 $a_1$ 구하기
주기가 4이므로, 항의 번호(인덱스)를 4로 나눈 나머지가 같은 항들은 모두 같은 값을 가집니다.
$12$는 $4$의 배수이므로, $a_{12}$는 $a_4$와 같습니다.
$$a_{12} = a_8 = a_4 = \frac{1}{2}$$
따라서, 우리는 **$a_4 = \frac{1}{2}$** 임을 알 수 있습니다.
이제 1단계에서 구한 관계식 $a_4 = \frac{a_1}{8}$을 이용해 $a_1$의 값을 구해봅시다.
$$\frac{a_1}{8} = \frac{1}{2}$$
양변에 $8$을 곱하면:
$$a_1 = 4$$
4단계: 최종 구하고자 하는 값 계산하기
우리가 구해야 할 값은 $a_1 + a_4$입니다. 위에서 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$a_1 + a_4 = 4 + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$$
답
**⑤ $\frac{9}{2}$**
확인해보기
이 수열의 규칙과 주기성을 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
> 질문: 위 문제와 동일한 수열 $\{a_n\}$에서 $a_{12} = \frac{1}{2}$ 일 때, $a_{2025}$의 값은 무엇일까요? (주기성을 생각하며 2025를 4로 나누어 보세요.)