어떤 문제인가
이 문제는 두 벡터가 서로 평행할 조건을 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 평행 조건: 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$가 평행하면, 한 벡터는 다른 벡터의 실수배로 나타낼 수 있습니다. 즉, $\vec{a} = t\vec{b}$ (단, $t$는 $0$이 아닌 실수)가 성립합니다.
- 벡터의 성분 비교: 두 벡터가 서로 같으려면 $x$성분은 $x$성분끼리, $y$성분은 $y$성분끼리 같아야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 벡터가 평행할 조건 식으로 나타내기
두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$가 서로 평행하므로, 어떤 실수 $t$에 대하여 다음 관계가 성립합니다.
$$\vec{a} = t\vec{b}$$
여기에 문제에서 주어진 벡터의 성분을 그대로 대입해 봅시다.
$$(k+3, 3k-1) = t(1, 1)$$
우변의 실수배를 성분 안으로 넣어 정리하면 다음과 같습니다.
$$(k+3, 3k-1) = (t, t)$$
2단계: 성분별로 방정식 세우기
두 벡터가 서로 같으려면 $x$성분과 $y$성분이 각각 같아야 합니다. 따라서 다음과 같은 연립방정식을 세울 수 있습니다.
- $x$성분 비교: $k+3 = t$
- $y$성분 비교: $3k-1 = t$
3단계: 방정식 풀어서 $k$ 구하기
두 식 모두 우변이 $t$로 같으므로, 좌변끼리도 같아야 합니다.
$$k+3 = 3k-1$$
이제 $k$에 대한 일차방정식을 풀어봅시다. $k$를 우변으로, 상수를 좌변으로 이항합니다.
$$3 + 1 = 3k - k$$
$$4 = 2k$$
양변을 $2$로 나누면 우리가 구하고자 하는 $k$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$k = 2$$
답
**② $2$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 두 벡터 $\vec{u} = (x, 6)$와 $\vec{v} = (2, 3)$이 서로 평행할 때, 실수 $x$의 값은 얼마일까요? (위에서 배운 $\vec{u} = t\vec{v}$ 공식을 사용해 보세요!)