어떤 문제인가
이 문제는 타원 위의 한 점이 주어졌을 때, 그 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 접선이 $x$축과 만나는 점인 **$x$절편**을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 타원 위의 점에서의 접선의 방정식 공식: 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ 입니다.
- **$x$절편의 정의**: 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표로, 식에 $y=0$을 대입하여 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 접선의 방정식 공식 적용하기
타원의 방정식이 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ 이고, 접점의 좌표가 $(x_1, y_1) = (2, \sqrt{2})$ 입니다.
타원 위의 점에서의 접선 공식인 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ 에 주어진 값을 그대로 대입해 봅시다.
$$\frac{2x}{8} + \frac{\sqrt{2}y}{4} = 1$$
2단계: 접선의 방정식 정리하기
위에서 구한 식을 약분하여 더 간단하게 만들어 봅시다. $\frac{2}{8}$를 약분하면 $\frac{1}{4}$이 되므로, 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{2}y}{4} = 1$$
양변에 $4$를 곱하면 분수를 없앨 수 있어서 계산하기 훨씬 편해집니다. 양변에 $4$를 곱해 볼까요?
$$x + \sqrt{2}y = 4$$
이 식이 바로 우리가 구하고자 했던 접선의 방정식입니다.
3단계: $x$절편 구하기
$x$절편은 이 직선이 $x$축과 만나는 점이므로, $y$좌표가 $0$일 때의 $x$값입니다.
따라서 구한 접선의 방정식에 $y = 0$을 대입합니다.
$$x + \sqrt{2}(0) = 4$$
$$x = 4$$
따라서 이 접선의 $x$절편은 $4$입니다.
답
⑤ $4$
확인해보기
오늘 배운 공식을 잘 이해했는지 확인해 봅시다!
> 질문: 위 문제에서 구한 접선 $x + \sqrt{2}y = 4$의 **$y$절편**은 얼마일까요? 스스로 계산해 보세요. (힌트: $x=0$을 대입해 보세요!)