어떤 문제인가
이 문제는 벡터의 연산과 기하학적 의미를 이해하고, 이를 통해 점 $\mathrm{P}$가 그리는 도형이 무엇인지 알아내어 그 길이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 뺄셈: 두 위치벡터의 차가 나타내는 기하학적 의미 ($\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}}$)
- 벡터의 크기와 거리: 벡터의 크기 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$는 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{P}$ 사이의 '거리'를 뜻한다는 것
- 원의 정의: 평면 위에서 한 고정된 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 집합이 '원'이라는 것
단계별 풀이
1단계: 주어진 벡터 방정식을 기하학적으로 해석하기
먼저 문제에서 주어진 식을 살펴봅시다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$$
벡터의 뺄셈 성질에 의해, 시점이 원점 $\mathrm{O}$로 통일된 두 벡터의 차 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}$는 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}}$$
이것을 원래 식에 대입하면 다음과 같은 아주 단순한 식이 됩니다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$$
이 식의 의미를 말로 풀어볼까요?
- 좌변 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$는 **점 $\mathrm{A}$에서 점 $\mathrm{P}$까지의 거리**를 뜻합니다.
- 우변 $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$는 **점 $\mathrm{A}$에서 점 $\mathrm{B}$까지의 거리로, 두 점이 고정되어 있으므로 일정한 상수(숫자)**입니다.
즉, **"점 $\mathrm{P}$는 고정된 점 $\mathrm{A}$로부터 항상 일정한 거리(선분 $\mathrm{AB}$의 길이)만큼 떨어져 있는 점이다"**라는 뜻이 됩니다.
2단계: 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형 정의하기
한 고정된 점 $\mathrm{A}$로부터 일정한 거리에 있는 점 $\mathrm{P}$의 자취는 무엇일까요?
바로 **점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 선분 $\mathrm{AB}$의 길이($|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$)인 원**입니다.
따라서 우리가 구하고자 하는 '도형의 길이'는 이 원의 둘레(원주)가 됩니다.
3단계: 반지름의 길이($|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$) 구하기
이제 원의 반지름에 해당하는 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 구해봅시다. 두 점 $\mathrm{A}(1, 2)$, $\mathrm{B}(-3, 5)$ 사이의 거리 공식을 사용합니다.
$$\begin{aligned} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| &= \sqrt{(-3 - 1)^2 + (5 - 2)^2} \\ &= \sqrt{(-4)^2 + 3^2} \\ &= \sqrt{16 + 9} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}$$
따라서 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형은 **중심이 $\mathrm{A}(1, 2)$이고 반지름 $r = 5$인 원**입니다.
4단계: 도형의 길이 구하기
반지름의 길이가 $r = 5$인 원의 둘레(길이)를 구하는 공식은 $2\pi r$입니다. 이 공식에 반지름을 대입합니다.
$$\text{도형의 길이} = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi$$
답
**① $10\pi$**
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문: 만약 조건식이 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}}| = 4$로 바뀐다면, 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형은 어떤 점을 중심으로 하는 원이 될까요? 그리고 그 원의 넓이는 얼마가 될까요? (스스로 생각해보세요!)