어떤 문제인가
이 문제는 정육각형의 기하학적 성질과 벡터의 연산을 결합한 문제입니다. 서로 다른 위치에 있는 두 벡터를 더하기 위해 다음 3가지 핵심 개념을 사용합니다.
- 벡터의 평행이동: 벡터는 크기와 방향만 같으면 시점의 위치와 상관없이 같은 벡터입니다.
- 정육각형의 대각선과 각도의 성질: 정육각형을 정삼각형 6개로 쪼개어 생각하면 길이와 각도를 쉽게 구할 수 있습니다.
- 두 벡터의 합의 크기 공식: 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$와 그 사잇각 $\theta$를 알 때, 합벡터의 크기는 $|\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$를 이용해 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 벡터를 평행이동하여 시점 맞추기
두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$는 시점이 서로 다릅니다. 벡터를 더하기 쉽게 만들기 위해, 정육각형의 중심을 $O$라고 하고 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$를 평행이동해 봅시다.
정육각형 $ABCDEF$에서 변 $BC$와 평행하면서 길이가 같은 선분은 중심 $O$를 기준으로 그은 선분 $AO$입니다. 방향까지 고려하면 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AO}}$$
따라서 구하고자 하는 식은 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{AE}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AE}} + \overrightarrow{\mathrm{AO}}|$$
이제 두 벡터의 시점이 모두 $A$로 통일되었습니다!
2단계: 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$의 크기 구하기
이제 두 벡터의 크기(길이)를 각각 구해봅시다.
- **$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}|$의 크기**:
정육각형의 한 변의 길이가 $1$이므로, 외접원의 반지름이자 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리도 모두 $1$입니다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}| = 1$$
- **$|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|$의 크기**:
삼각형 $AFE$를 생각해 봅시다. 변 $AF = 1$, 변 $FE = 1$이고, 정육각형의 한 내각의 크기는 $120^\circ$이므로 $\angle\mathrm{AFE} = 120^\circ$입니다.
이등변삼각형 $AFE$에서 꼭짓점 $F$에서 변 $AE$에 수선을 내리면, 30°-60°-90° 직각삼각형 두 개로 나뉩니다.
따라서 변 $AE$의 길이는 다음과 같습니다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{AE}}| = 2 \times \left(1 \times \cos 30^\circ\right) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$
3단계: 두 벡터 사이의 사잇각 구하기
두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$가 이루는 각 $\angle\mathrm{OAE}$의 크기를 구해봅시다.
- 정육각형에서 대각선 $AD$는 내각 $\angle\mathrm{FAB}$($120^\circ$)를 정확히 이등분하므로, $\angle\mathrm{FAD} = 60^\circ$입니다. 점 $O$는 대각선 $AD$ 위에 있으므로 $\angle\mathrm{FAO} = 60^\circ$입니다.
- 앞서 삼각형 $AFE$가 이등변삼각형임을 보았으므로, $\angle\mathrm{FAE} = 30^\circ$입니다.
- 따라서 두 벡터 사이의 각인 $\angle\mathrm{OAE}$는 다음과 같습니다.
$$\angle\mathrm{OAE} = \angle\mathrm{FAO} - \angle\mathrm{FAE} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$$
4단계: 합벡터의 크기 계산하기
이제 공식에 대입하여 값을 구해봅시다. 편의상 $\overrightarrow{\mathrm{AO}} = \vec{u}$, $\overrightarrow{\mathrm{AE}} = \vec{v}$라 하면, $|\vec{u}| = 1$, $|\vec{v}| = \sqrt{3}$, 사잇각 $\theta = 30^\circ$입니다.
$$|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos 30^\circ$$
$$= 1^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \times 1 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$= 1 + 3 + 3 = 7$$
제곱한 값이 $7$이므로, 우리가 구하고자 하는 벡터의 크기는 다음과 같습니다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{AE}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}| = \sqrt{7}$$
답
**② $\sqrt{7}$**
확인해보기
오늘 배운 벡터의 평행이동을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 한 변의 길이가 $1$인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$에서 $|\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{CD}}|$의 값은 얼마일까요? (힌트: $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$를 평행이동하여 시점을 $B$로 맞춰보세요.)