반갑습니다! 오늘도 즐겁게 수학 문제를 해결해 봅시다. 이 문제는 쌍곡선의 성질과 접선의 방정식, 그리고 도형의 넓이를 기하학적으로 해석하는 아주 좋은 문제입니다. 차근차근 단계를 밟아가며 풀어볼게요.
어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 접선이 축과 만나는 점들을 이용해 두 삼각형의 넓이 비를 구하는 문제입니다.
우리가 이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 공식: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1$입니다.
- 좌표평면 위에서의 삼각형의 넓이: 밑변과 높이를 좌표를 통해 직관적으로 찾아내는 능력입니다.
- 쌍곡선의 주축의 길이: 주축의 길이는 $2a$이므로, 최종 목표는 $a$의 값을 구하는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\text{P}$가 쌍곡선 위에 있다는 조건 정리하기
점 $\text{P}(4, k)$는 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점입니다. 따라서 이 좌표를 쌍곡선 방정식에 대입하면 성립해야 합니다.
$$\frac{16}{a^2} - \frac{k^2}{b^2} = 1 \quad \cdots \text{(식 1)}$$
이 식은 나중에 $a$ 값을 구하는 데 아주 중요한 열쇠가 됩니다. 잘 기억해 두세요!
2단계: 점 $\text{P}$에서의 접선의 방정식과 교점 $\text{Q}$, $\text{R}$ 구하기
점 $\text{P}(4, k)$에서의 접선의 방정식을 공식에 대입해 구합니다.
$$\frac{4x}{a^2} - \frac{ky}{b^2} = 1$$
이제 이 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점인 $\text{Q}$와 $\text{R}$의 좌표를 구해봅시다.
- **점 $\text{Q}$ ($x$절편, $y=0$ 대입)**:
$$\frac{4x}{a^2} = 1 \implies x = \frac{a^2}{4} \implies \text{Q}\left(\frac{a^2}{4}, 0\right)$$
- **점 $\text{R}$ ($y$절편, $x=0$ 대입)**:
$$-\frac{ky}{b^2} = 1 \implies y = -\frac{b^2}{k} \implies \text{R}\left(0, -\frac{b^2}{k}\right)$$
3단계: 두 삼각형의 넓이 $A_1$과 $A_2$ 구하기
이제 두 삼각형의 넓이를 문자로 표현해 봅시다.
- **삼각형 $\text{QOR}$의 넓이 $A_1$**:
$\text{O}(0,0)$, $\text{Q}\left(\frac{a^2}{4}, 0\right)$, $\text{R}\left(0, -\frac{b^2}{k}\right)$로 이루어진 직각삼각형입니다. ($k>0$이므로 점 $\text{R}$의 $y$좌표는 음수입니다. 길이를 구할 때는 절댓값을 씌워 양수로 만듭니다.)
$$A_1 = \frac{1}{2} \times \overline{\text{OQ}} \times \overline{\text{OR}} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2}{4} \times \frac{b^2}{k} = \frac{a^2 b^2}{8k}$$
- **삼각형 $\text{PRS}$의 넓이 $A_2$**:
점 $\text{P}(4, k)$와 점 $\text{S}(4, 0)$은 $x$좌표가 $4$로 같습니다. 즉, 선분 $\text{PS}$는 $y$축과 평행한 수직선분입니다.
따라서 밑변을 $\text{PS}$로 잡으면, 밑변의 길이는 $k - 0 = k$가 됩니다.
이때 높이는 점 $\text{R}\left(0, -\frac{b^2}{k}\right)$에서 선분 $\text{PS}$($x=4$인 직선)까지의 수평 거리이므로, $4 - 0 = 4$가 됩니다.
$$A_2 = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times k \times 4 = 2k$$
4단계: 넓이의 비를 이용하여 관계식 만들기
문제에서 $A_1 : A_2 = 9 : 4$라고 주어졌습니다. 비례식을 풀어볼까요?
$$4 A_1 = 9 A_2$$
여기에 우리가 구한 $A_1$과 $A_2$를 대입합니다.
$$4 \left(\frac{a^2 b^2}{8k}\right) = 9 (2k)$$
$$\frac{a^2 b^2}{2k} = 18k$$
양변에 $2k$를 곱하면:
$$a^2 b^2 = 36k^2$$
양변을 $a^2 b^2$으로 나누어 정리하면 다음과 같은 예쁜 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{k^2}{b^2} = \frac{a^2}{36} \quad \cdots \text{(식 2)}$$
5단계: 주축의 길이 구하기
이제 (식 2)를 처음에 구해둔 (식 1)에 대입해 봅시다.
$$\frac{16}{a^2} - \frac{k^2}{b^2} = 1 \implies \frac{16}{a^2} - \frac{a^2}{36} = 1$$
계산을 편하게 하기 위해 $a^2 = t$ ($t > 0$)로 치환해 볼까요?
$$\frac{16}{t} - \frac{t}{36} = 1$$
양변에 $36t$를 곱해 분수를 없애줍니다.
$$576 - t^2 = 36t$$
$$t^2 + 36t - 576 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하거나 근의 공식을 이용해 풀어봅시다. 곱해서 $-576$, 더해서 $36$이 되는 두 수는 $48$과 $-12$입니다!
$$(t + 48)(t - 12) = 0$$
$t = a^2 > 0$이어야 하므로, $t = 12$입니다.
즉, $a^2 = 12$이므로 $a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$입니다.
우리가 구하고자 하는 쌍곡선의 주축의 길이는 $2a$이므로:
$$\text{주축의 길이} = 2a = 4\sqrt{3}$$
답
정답은 **③ $4\sqrt{3}$** 입니다.
확인해보기
삼각형 $\text{PRS}$의 넓이 $A_2$를 구할 때, 왜 높이가 $4$가 되는지 좌표평면의 성질을 이용하여 스스로 설명해 볼까요? (선분 $\text{PS}$가 놓인 직선의 방정식과 점 $\text{R}$의 위치 관계를 생각해 보세요.)