어떤 문제인가
이 문제는 타원의 성질과 원의 성질을 결합하여 미지수 $a$의 값을 구하는 기하 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 타원의 방정식과 성질: 타원의 장축, 단축, 초점 사이의 관계 ($c^2 = a^2 - b^2$)
- 원의 정의: 원 위의 모든 점은 원의 중심으로부터 거리가 반지름($1$)으로 일정하다는 성질
- 좌표평면을 이용한 식 세우기: 도형의 특징을 좌표로 나타내어 대수적으로 해결하기
단계별 풀이
1단계: 좌표평면 위에 타원과 원을 올려놓기
문제를 쉽게 풀기 위해 타원의 중심을 원점 $(0,0)$으로 잡겠습니다.
타원의 장축의 길이가 $2a$이므로, 타원의 방정식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$$
이때 타원의 각 요소들의 좌표는 다음과 같습니다.
- 좌우 꼭짓점: $A'(-a, 0)$, $A(a, 0)$
- 위아래 꼭짓점: $B(0, b)$, $B'(0, -b)$
- 두 초점: $F'( -c, 0)$, $F(c, 0)$ (단, $c^2 = a^2 - b^2$, $c > 0$)
그림에서 원의 중심은 타원의 왼쪽 꼭짓점인 $A'(-a, 0)$이고, 반지름의 길이는 $1$입니다.
2단계: 원이 지나는 점들을 이용하여 식 세우기
이 원은 타원의 위쪽 꼭짓점 $B(0, b)$, 아래쪽 꼭짓점 $B'(0, -b)$, 그리고 오른쪽 초점 $F(c, 0)$을 지납니다. 원의 중심 $A'(-a, 0)$에서 이 점들까지의 거리는 모두 반지름인 $1$이 되어야 합니다.
**① 중심 $A'(-a, 0)$에서 위쪽 꼭짓점 $B(0, b)$까지의 거리**
두 점 사이의 거리 공식을 쓰면 다음과 같습니다.
$$\sqrt{(0 - (-a))^2 + (b - 0)^2} = 1$$
양변을 제곱하면 아주 깔끔한 식을 얻을 수 있습니다.
$$a^2 + b^2 = 1 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
**② 중심 $A'(-a, 0)$에서 오른쪽 초점 $F(c, 0)$까지의 거리**
두 점은 모두 $x$축 위에 있으므로, 거리는 단순히 두 $x$좌표의 차이입니다.
$$c - (-a) = a + c = 1 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: 타원의 성질을 이용하여 연립방정식 풀기
우리는 타원에서 초점, 장축, 단축 사이에 다음 관계가 성립함을 알고 있습니다.
$$c^2 = a^2 - b^2 \implies b^2 = a^2 - c^2 \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
이제 (식 1), (식 2), (식 3)을 연립하여 $a$를 구해봅시다.
먼저 (식 2)에서 $c$를 $a$에 대한 식으로 나타냅니다.
$$c = 1 - a$$
이것을 (식 3)에 대입하여 $b^2$을 $a$에 대한 식으로 정리합니다.
$$b^2 = a^2 - (1 - a)^2$$
$$b^2 = a^2 - (1 - 2a + a^2) = 2a - 1$$
이제 이 $b^2$의 값을 (식 1)에 대입합니다.
$$a^2 + (2a - 1) = 1$$
정리하면 $a$에 대한 이차방정식이 나옵니다.
$$a^2 + 2a - 2 = 0$$
4단계: 근의 공식으로 $a$ 구하기
이차방정식의 근의 공식을 적용해 봅시다. ($a$의 계수가 짝수이므로 짝수 공식을 씁니다.)
$$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 1 \times (-2)}}{1} = -1 \pm \sqrt{3}$$
여기서 $a$는 타원의 장축의 절반을 나타내는 길이이므로 반드시 양수($a > 0$)여야 합니다.
따라서 우리가 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$a = \sqrt{3} - 1$$
답
**③ $\sqrt{3}-1$**
확인해보기
이 문제에서 구한 $a = \sqrt{3} - 1$ 값을 이용해서, 이 타원의 **단축의 길이 $2b$**는 어떻게 구할 수 있을지 그 과정을 스스로 생각해보세요.