어떤 문제인가
이 문제는 두 포물선과 하나의 직선이 만나는 상황에서, 도형의 평행이동과 교점의 성질을 이용하여 선분들의 길이 관계를 파악하고 최종적인 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 이차곡선(포물선)과 직선의 교점: 연립방정식을 통해 교점의 좌표를 구하는 방법
- 도형의 평행이동: $x$축 방향으로 $a$만큼, $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동할 때 식과 도형 위의 점들이 어떻게 변하는지 이해하기
- 기하학적 직관: 직선의 기울기와 평행이동 벡터 사이의 특별한 관계 파악하기
단계별 풀이
1단계: 원래 포물선과 직선의 교점 구하기
먼저, 기준이 되는 포물선 $y^2=8x$와 직선 $y=2x-4$가 만나는 점들을 구해봅시다. 두 식을 연립하기 위해 직선의 방정식을 $x$에 대해 정리하면 $x = \frac{y+4}{2}$가 됩니다.
이를 포물선 식에 대입해 볼게요.
$$y^2 = 8 \left(\frac{y+4}{2}\right)$$
$$y^2 = 4(y+4)$$
$$y^2 - 4y - 16 = 0$$
이 이차방정식을 근의 공식을 사용하여 $y$값을 구하면 다음과 같습니다.
$$y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5}$$
문제에서 점 $\text{A}$는 제1사분면 위의 점이라고 했으므로 $y$ 좌표는 양수여야 합니다. 따라서 점 $\text{A}$의 $y$ 좌표를 $y_A$, 다른 교점을 $\text{A}'$라 하고 그 $y$ 좌표를 $y_{A'}$라 하면 다음과 같습니다.
- $y_A = 2 + 2\sqrt{5}$
- $y_{A'} = 2 - 2\sqrt{5}$
이제 각각의 $x$ 좌표도 구해보겠습니다. $x = \frac{y+4}{2}$에 대입하면,
- $x_A = \frac{2+2\sqrt{5}+4}{2} = 3 + \sqrt{5}$
- $x_{A'} = \frac{2-2\sqrt{5}+4}{2} = 3 - \sqrt{5}$
따라서 두 교점의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{A}(3+\sqrt{5}, 2+2\sqrt{5}), \quad \text{A}'(3-\sqrt{5}, 2-2\sqrt{5})$$
2단계: 평행이동의 비밀과 $a$의 값 구하기
새로운 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$를 살펴봅시다. 이 포물선은 원래 포물선 $y^2=8x$를 **$x$축 방향으로 $a$만큼, $y$축 방향으로 $2a$만큼 평행이동**한 것입니다.
여기서 아주 흥미로운 사실을 발견할 수 있습니다!
평행이동하는 방향의 비율을 보면, $x$가 $a$만큼 변할 때 $y$는 $2a$만큼 변하므로 이 이동의 기울기는 $\frac{2a}{a} = 2$입니다. 그런데 우리가 가진 직선 $y=2x-4$의 기울기도 바로 $2$입니다!
즉, **직선 위의 점들을 $x$축으로 $a$, $y$축으로 $2a$만큼 평행이동해도 여전히 그 점들은 같은 직선 위에 있게 됩니다.**
따라서, 새로운 포물선과 직선이 만나는 교점들은 원래 교점인 $\text{A}$와 $\text{A}'$를 각각 $(a, 2a)$만큼 평행이동한 점들과 정확히 일치합니다.
- 새로운 교점 1: $\text{A}' + (a, 2a)$
- 새로운 교점 2: $\text{A} + (a, 2a)$
문제에서 새로운 포물선이 점 $\text{A}$를 지난다고 했습니다. $a > 0$이므로 오른쪽 위로 이동한 것입니다. 따라서 더 왼쪽에 있던 교점 $\text{A}'$가 평행이동하여 점 $\text{A}$의 위치로 와야만 합니다.
$$\text{A}' + (a, 2a) = \text{A}$$
이를 좌표로 나타내면 다음과 같습니다.
$$(3-\sqrt{5} + a, 2-2\sqrt{5} + 2a) = (3+\sqrt{5}, 2+2\sqrt{5})$$
$x$ 좌표를 비교해 보면,
$$3-\sqrt{5} + a = 3+\sqrt{5} \implies a = 2\sqrt{5}$$
이로써 양수 $a$의 값을 구했습니다!
3단계: 점 $\text{B}$의 좌표와 선분의 길이 구하기
직선과 새로운 포물선이 만나는 점 중 $\text{A}$가 아닌 점을 $\text{B}$라고 했습니다. 위에서 분석한 대로 점 $\text{B}$는 점 $\text{A}$를 $(a, 2a)$만큼 평행이동한 점입니다.
$$\text{B} = \text{A} + (a, 2a)$$
$a = 2\sqrt{5}$이므로 평행이동 벡터는 $(2\sqrt{5}, 4\sqrt{5})$입니다. 점 $\text{B}$의 좌표를 구해봅시다.
- $x_B = x_A + a = (3+\sqrt{5}) + 2\sqrt{5} = 3 + 3\sqrt{5}$
- $y_B = y_A + 2a = (2+2\sqrt{5}) + 4\sqrt{5} = 2 + 6\sqrt{5}$
이제 문제에서 요구하는 선분들의 길이를 구해봅시다.
- **$\overline{\text{AC}}$의 길이**: 점 $\text{A}$에서 직선 $x=-2$에 내린 수선의 발이 $\text{C}$이므로, 길이는 두 $x$ 좌표의 차이입니다.
$$\overline{\text{AC}} = x_A - (-2) = (3+\sqrt{5}) + 2 = 5 + \sqrt{5}$$
- **$\overline{\text{BD}}$의 길이**: 점 $\text{B}$에서 직선 $x=-2$에 내린 수선의 발이 $\text{D}$이므로, 역시 $x$ 좌표의 차이입니다.
$$\overline{\text{BD}} = x_B - (-2) = (3+3\sqrt{5}) + 2 = 5 + 3\sqrt{5}$$
- **$\overline{\text{AB}}$의 길이**: 점 $\text{B}$는 점 $\text{A}$를 $(a, 2a)$만큼 평행이동한 점이므로, 피타고라스 정리에 의해 두 점 사이의 거리는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{AB}} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$$
$a = 2\sqrt{5}$를 대입하면,
$$\overline{\text{AB}} = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 10$$
4단계: $k$와 $k^2$ 계산하기
이제 구한 값들을 식에 대입하여 $k$를 구합니다.
$$k = \overline{\text{AC}} + \overline{\text{BD}} - \overline{\text{AB}}$$
$$k = (5 + \sqrt{5}) + (5 + 3\sqrt{5}) - 10$$
$$k = 10 + 4\sqrt{5} - 10 = 4\sqrt{5}$$
우리가 구하고자 하는 최종 값은 $k^2$입니다.
$$k^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80$$
답
$$80$$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요:
> 질문: 만약 직선의 방정식이 $y = 2x - 4$가 아니라 기울기가 다른 직선(예: $y = 3x - 4$)이었다면, 포물선을 $(a, 2a)$만큼 평행이동했을 때 이 직선 위의 점들이 평행이동 후에도 여전히 같은 직선 위에 있을 수 있을까요? 그 이유를 평행이동 벡터와 직선의 기울기 관계를 통해 설명해 보세요.