어떤 문제인가
정사각형 위를 움직이는 두 점 $P$, $Q$에 대해 $\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}$의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제예요. 핵심 개념은 세 가지입니다. 첫째, 조건 (나), (다) 같은 내적 부등식은 점이 움직일 수 있는 범위(변의 일부)를 정해 줘요. 둘째, 조건 (가)의 "내적이 0"은 두 벡터가 수직이라는 뜻이므로, 이를 통해 $\overrightarrow{PQ}$의 방향이 정사각형의 변과 평행($(1,1)$ 또는 $(1,-1)$ 방향)임을 읽어낼 수 있어요. 셋째, 가능한 배치를 몇 개의 1변수 케이스로 나누어 각각에서 $\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}$의 범위를 계산하면 됩니다.
단계별 풀이
- **$P$, $Q$가 움직일 수 있는 범위를 먼저 확정해요.** $P=(x,y)$라 하면 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=2x\ge -2 \Rightarrow x\ge -1$, $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OP}=2y\ge 0 \Rightarrow y\ge 0$이에요. 따라서 $P$는 변 $AB$ 전체($x+y=2$, $0\le x\le 2$)와 변 $BC$의 일부($y=x+2$, $-1\le x\le 0$) 위에 있어요. 같은 방법으로 $Q$는 $x\ge-1$, $y\le 0$이므로 변 $DA$ 전체($x-y=2$, $0\le x\le 2$)와 변 $CD$의 일부($y=-x-2$, $-1\le x\le 0$) 위에 있습니다.
- 조건 (가)를 해석해요. $\overrightarrow{AB}=(-2,2)$, $\overrightarrow{AD}=(-2,-2)$이므로 $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AB}=0$이면 $\overrightarrow{PQ}\parallel(1,1)$이고, $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AD}=0$이면 $\overrightarrow{PQ}\parallel(1,-1)$이에요. 즉 $\overrightarrow{PQ}$는 정사각형의 어느 한 변과 평행합니다.
- 케이스를 나누어 계산해요. $R(4,4)$이고, 구하는 값을 $f=\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}$라 둡시다.
- **케이스 1: $\overrightarrow{PQ}\parallel(1,-1)$ ($x+y$가 일정한 경우).** $P$가 $AB$ 위($x+y=2$)이면 $Q$도 $x+y=2$ 위에 있어야 하는데, $Q$의 범위에서 이를 만족하는 점은 $A(2,0)$뿐이에요. $P=(p,2-p)$, $Q=A$이면 $f=(p-4,-2-p)\cdot(-2,-4)=2p+16$이고, $p\in[0,2]$이므로 $f\in[16,20]$입니다.
- **케이스 2: $\overrightarrow{PQ}\parallel(1,-1)$이고 $P$가 $BC$ 위인 경우.** $x+y=c$ ($c\in[0,2]$)라 하면 $P=\left(\frac{c-2}{2},\frac{c+2}{2}\right)$이고, $Q$는 $DA$와의 교점 $\left(\frac{c+2}{2},\frac{c-2}{2}\right)$이에요. 계산하면 $f=\frac{(c-10)(c-6)}{2}$인데, 이 함수는 $[0,2]$에서 감소하므로 $f\in[16,30]$입니다. 최대 $30$은 $c=0$일 때, 즉 $P(-1,1)$, $Q(1,-1)$에서 나와요.
- **케이스 3: $\overrightarrow{PQ}\parallel(1,1)$ ($x-y$가 일정)이고 $P$가 $AB$ 위, $Q$가 $CD$ 위인 경우.** $x-y=c$라 하면 $Q$의 범위 조건($x\ge-1$)에서 $c\in[0,2]$이고, $P=\left(\frac{2+c}{2},\frac{2-c}{2}\right)$, $Q=\left(\frac{c-2}{2},\frac{-c-2}{2}\right)$예요. 계산하면 $f=\frac{c^2+60}{2}$이므로 $f\in[30,32]$이고, 최대 $32$는 $c=2$일 때, 즉 $P=A(2,0)$, $Q=D(0,-2)$에서 나옵니다.
- **케이스 4: $P=A$로 고정되고 $Q$가 $DA$ 위인 경우 (직선 $x-y=2$가 $DA$ 자체인 경우).** $Q=(q,q-2)$이면 $f=(-2,-4)\cdot(q-4,q-6)=-6q+32$이고, $q\in[0,2]$이므로 $f\in[20,32]$입니다.
그 밖의 배치($P$가 $BC$·$Q$가 $CD$ 등)는 범위 조건에 걸려 불가능해요.
- 최댓값과 최솟값을 정리해요. 네 케이스의 합집합은 $f\in[16,32]$이므로 $M=32$ ($P=A(2,0)$, $Q=D(0,-2)$일 때), $m=16$ ($P=B(0,2)$, $Q=A(2,0)$일 때)입니다.
검산
최댓값이 나오는 $P=A$, $Q=D$를 직접 조건에 넣어 보세요. $\overrightarrow{PQ}=(-2,-2)$이고 $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AB}=4-4=0$이라 (가)를 만족하고, (나)(다)도 만족하며, $\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}=(-2,-4)\cdot(-4,-6)=8+24=32$가 나와요. 최솟값 쪽도 $P=B$, $Q=A$일 때 $\overrightarrow{PQ}=(2,-2)$, $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AD}=-4+4=0$으로 (가)를 만족하고 $\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}=(-4,-2)\cdot(-2,-4)=8+8=16$이 됩니다. 두 변수 격자 전수 탐색(각 호를 4000분할, 평행 조건 정확 판정)으로 수치 검산해도 $M=32$, $m=16$으로 일치해요.
답
$$M+m=32+16=48$$
확인해보기
케이스 1에서 $P$가 $AB$ 위에 있을 때 $Q$가 될 수 있는 점이 왜 $A(2,0)$ 하나뿐인지, $Q$의 범위 조건을 이용해 스스로 설명해 볼 수 있나요?