어떤 문제인가
이 문제는 다항식의 거듭제곱을 전개했을 때, 특정 항($x^3$) 앞에 곱해진 숫자(계수)가 무엇인지 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이항정리 (Binomial Theorem): 두 항의 합의 거듭제곱 $(a+b)^n$을 전개하는 공식입니다.
- 이항정리의 일반항: 전개식의 모든 항을 일일이 구하지 않고, 우리가 원하는 특정 항만 쏙 골라내기 위해 사용하는 공식입니다.
단계별 풀이
1단계: 이항정리의 일반항 공식 세우기
$(a+b)^n$의 전개식에서 일반항은 다음과 같습니다.
$$_n\mathrm{C}_r a^{r} b^{n-r}$$
(여기서 $r$은 $0$부터 $n$까지의 정수입니다.)
이 공식에 문제에서 주어진 식 $(2x+1)^5$을 대입해 봅시다.
- $a = 2x$
- $b = 1$
- $n = 5$
이 값들을 공식에 넣으면 일반항은 다음과 같이 정리됩니다.
$$_5\mathrm{C}_r (2x)^r (1)^{5-r}$$
2단계: 일반항 단순화하기
위 식에서 숫자 부분과 문자($x$) 부분을 보기 좋게 분리해 봅시다. $1$은 몇 번을 곱해도 $1$이므로 $(1)^{5-r} = 1$이 됩니다.
$$_5\mathrm{C}_r \cdot 2^r \cdot x^r \cdot 1 = _5\mathrm{C}_r \cdot 2^r \cdot x^r$$
이제 $x$가 붙은 부분과 숫자(계수) 부분이 확실하게 구분되었습니다.
- 계수 부분: $_5\mathrm{C}_r \cdot 2^r$
- 문자 부분: $x^r$
3단계: $x^3$ 항이 되는 $r$ 찾기
우리가 찾고 싶은 것은 $x^3$의 계수입니다.
문자 부분인 $x^r$이 $x^3$이 되어야 하므로, **$r = 3$**이어야 합니다.
4단계: $r=3$을 대입하여 계수 계산하기
이제 일반항의 계수 부분($_5\mathrm{C}_r \cdot 2^r$)에 $r=3$을 대입하여 계산해 봅시다.
$$_5\mathrm{C}_3 \cdot 2^3$$
조합(Combination) 공식에 의해 $_5\mathrm{C}_3$을 계산하면:
$$_5\mathrm{C}_3 = _5\mathrm{C}_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$
그리고 거듭제곱을 계산하면:
$$2^3 = 8$$
따라서 우리가 구하고자 하는 계수는 다음과 같습니다.
$$10 \times 8 = 80$$
즉, $x^3$ 항은 $80x^3$이 되므로 계수는 $80$입니다.
답
④ $80$
확인해보기
오늘 배운 이항정리를 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [질문] 다항식 $(3x+1)^4$의 전개식에서 $x^2$의 계수는 얼마일까요?