어떤 문제인가
이 문제는 중복을 허용하여 만든 네 자리 자연수 중에서 특정 조건($3500$보다 큰 수)을 만족하는 수가 선택될 확률을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 세 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 중복순열: 중복을 허용하여 자리를 채우는 경우의 수 구하기
- 경우의 수 나누기(사건의 분류): 조건($3500$보다 큰 수)에 따라 상황을 나누어 생각하기
- 확률의 기본 정의: $\text{확률} = \frac{\text{조건을 만족하는 경우의 수}}{\text{모든 경우의 수}}$
단계별 풀이
1단계: 만들 수 있는 모든 네 자리 자연수의 개수(전체 경우의 수) 구하기
먼저 확률의 분모에 들어갈 '전체 경우의 수'를 구해봅시다.
숫자 $1, 2, 3, 4, 5$ 중에서 중복을 허락하여 네 자리 자연수를 만듭니다. 네 자리 자연수의 각 자리를 다음과 같이 빈칸으로 생각해보세요.
$$\square \quad \square \quad \square \quad \square$$
- 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 $1, 2, 3, 4, 5$ 중 하나이므로 **$5$가지**입니다.
- 백의 자리에도 중복이 가능하므로 **$5$가지**가 올 수 있습니다.
- 십의 자리와 일의 자리 역시 각각 **$5$가지**씩 올 수 있습니다.
따라서 곱의 법칙에 의해 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$$
2단계: $3500$보다 큰 자연수의 개수(조건을 만족하는 경우의 수) 구하기
이제 $3500$보다 큰 수가 나오는 경우를 찾아봅시다. 네 자리 수 $ABCD$가 $3500$보다 크려면, 맨 앞자리(천의 자리)의 숫자가 무엇인지에 따라 기준을 나누어 생각하는 것이 좋습니다.
경우 1) 천의 자리가 $4$ 또는 $5$인 경우 ($4\square\square\square$, $5\square\square\square$)
천의 자리에 $4$나 $5$가 오면, 뒤에 어떤 숫자가 오더라도 무조건 $3500$보다 큽니다.
- 천의 자리: $4, 5$ 중 **$2$가지**
- 백의 자리: $1, 2, 3, 4, 5$ 중 **$5$가지**
- 십의 자리: **$5$가지**
- 일의 자리: **$5$가지**
$$\text{경우 1의 수} = 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$$
경우 2) 천의 자리가 $3$인 경우 ($3\square\square\square$)
천의 자리가 $3$일 때는 백의 자리 숫자가 중요합니다. $3500$보다 커야 하므로 백의 자리는 $5$만 올 수 있습니다. (사용할 수 있는 숫자가 $1, 2, 3, 4, 5$뿐이므로 $5$보다 큰 숫자는 없습니다.)
- 천의 자리: $3$ (固定, **$1$가지**)
- 백의 자리: $5$ (固定, **$1$가지**)
- 십의 자리: $1, 2, 3, 4, 5$ 중 **$5$가지**
- 일의 자리: $1, 2, 3, 4, 5$ 중 **$5$가지**
이때 가장 작은 수는 $3511$이 되므로, 백의 자리가 $5$이기만 하면 무조건 $3500$보다 크게 됩니다.
$$\text{경우 2의 수} = 1 \times 1 \times 5 \times 5 = 25$$
두 경우를 더하기
경우 1과 경우 2는 동시에 일어날 수 없으므로 합의 법칙을 이용합니다.
$$\text{조건을 만족하는 경우의 수} = 250 + 25 = 275$$
3단계: 확률 계산하기
이제 전체 경우의 수와 조건을 만족하는 경우의 수를 이용하여 확률을 구합니다.
$$\text{확률} = \frac{275}{625}$$
이 분수를 약분해 봅시다. 분모와 분자가 모두 $25$의 배수이므로, 분모와 분자를 각각 $25$로 나누어 줍니다.
- $275 \div 25 = 11$
- $625 \div 25 = 25$
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같습니다.
$$\text{확률} = \frac{11}{25}$$
답
**③ $\frac{11}{25}$**
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요?
> [질문]
> 만약 문제의 조건이 "$3500$보다 클 확률"이 아니라, **"$2400$보다 클 확률"**로 바뀐다면, 천의 자리와 백의 자리를 기준으로 경우를 어떻게 나누어 계산해야 할지 식을 세워보세요. (답은 직접 구해보되, 과정만 머릿속으로 그려보아도 좋습니다!)