어떤 문제인가
이 문제는 서로 다른 세 명의 학생에게 빨간색, 파란색, 노란색 카드를 나누어 주는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 단, "3가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는 학생이 적어도 한 명 존재해야 한다"는 특별한 조건이 있습니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **중복조합 (${}_nH_r$)**: 같은 색의 카드(구별되지 않는 대상)를 서로 다른 학생(구별되는 대상)에게 나누어 줄 때 사용합니다.
- 조건의 단순화 (노란색 카드에 주목하기): 카드의 개수를 보면 노란색 카드가 단 $1$장뿐입니다. 이 사실이 문제를 아주 쉽게 만들어주는 열쇠입니다!
단계별 풀이
1단계: 노란색 카드를 받을 학생 정하기
문제에서 "3가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는 학생이 있도록" 나누어 주라고 했습니다.
그런데 **노란색 카드는 단 $1$장**밖에 없습니다.
이것이 의미하는 것은 무엇일까요?
3가지 색을 모두 받으려면 반드시 노란색 카드를 받아야 하므로, 3가지 색을 모두 받는 학생은 오직 노란색 카드를 받은 그 학생 한 명뿐이어야 합니다.
따라서, 가장 먼저 노란색 카드를 받을 학생을 한 명 선택합니다.
- 학생이 3명($A, B, C$)이므로, 노란색 카드를 받을 학생을 고르는 경우의 수는 **$3$가지**입니다.
> 여기서는 편의상 **학생 $A$**가 노란색 카드를 받았다고 가정하고 다음 단계를 진행한 뒤, 마지막에 $3$을 곱해주겠습니다.
2단계: 빨간색 카드 나누어 주기
이제 학생 $A$는 3가지 색을 모두 받아야 하므로, **빨간색 카드도 최소한 $1$장 이상** 받아야 합니다.
빨간색 카드는 총 $4$장이 있습니다. 이 $4$장의 카드를 세 명의 학생 $A, B, C$에게 나누어 주되, $A$에게는 적어도 $1$장을 주어야 합니다.
이 조건을 쉽게 해결하는 방법은 **$A$에게 빨간색 카드 $1$장을 먼저 주고 시작하는 것**입니다.
- $A$에게 $1$장을 먼저 주면, 남은 빨간색 카드는 $3$장입니다.
- 이제 남은 $3$장의 빨간색 카드를 세 명의 학생 $A, B, C$에게 아무런 제한 없이 나누어 주면 됩니다. (카드를 받지 못하는 학생이 있어도 됩니다.)
이것은 서로 다른 3명 중에서 중복을 허용하여 3명을 택하는 중복조합의 수와 같습니다.
$${}_3H_3 = {}_{3+3-1}C_3 = {}_5C_3 = 10 \text{ (가지)}$$
3단계: 파란색 카드 나누어 주기
마찬가지로 학생 $A$는 **파란색 카드도 최소한 $1$장 이상** 받아야 합니다.
파란색 카드는 총 $2$장이 있습니다.
- $A$에게 파란색 카드 $1$장을 먼저 줍니다.
- 남은 파란색 카드는 $1$장입니다.
- 이제 남은 $1$장의 파란색 카드를 세 명의 학생 $A, B, C$에게 나누어 주는 경우의 수를 구합니다.
$${}_3H_1 = {}_{3+1-1}C_1 = {}_3C_1 = 3 \text{ (가지)}$$
*(사실 남은 1장을 $A, B, C$ 중 누구에게 줄지 결정하는 것이므로 당연히 $3$가지입니다.)*
4단계: 전체 경우의 수 계산하기
각 단계는 독립적으로 일어나므로 곱의 법칙을 이용해 모두 곱해줍니다.
- 노란색 카드를 받을 학생을 정하는 경우: $3$가지
- 빨간색 카드를 나누어 주는 경우: $10$가지
- 파란색 카드를 나누어 주는 경우: $3$가지
$$\text{전체 경우의 수} = 3 \times 10 \times 3 = 90$$
답
③ 90
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 만약 문제에서 노란색 카드가 $1$장이 아니라 **$2$장이 있고, 파란색 카드가 $1$장**이 있다면, "3가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는 학생이 있도록" 나누어 주는 경우의 수는 어떻게 구해야 할까요? 이때 가장 먼저 나누어 주어야 할 '기준이 되는 카드'는 무슨 색일까요?