어떤 문제인가
이 문제는 서로 영향을 주지 않는 두 가지 사건(주사위 던지기와 동전 던지기)이 동시에 일어날 때, 특정 조건이 성립할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 독립사건의 확률: 주사위를 던지는 것과 동전을 던지는 것은 서로 영향을 주지 않으므로, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 각각의 확률을 곱해서 구합니다.
- 경우의 수 나누기 (합의 법칙): 조건에 맞는 상황들을 서로 겹치지 않게 나누어 각각의 확률을 구한 뒤 더합니다.
- 독립시행의 확률: 동전 4개를 던져 앞면이 나오는 개수처럼, 같은 시행을 반복할 때 특정 횟수만큼 성공할 확률을 구하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 가능한 '값'의 범위 정하기
먼저, 주사위 2개의 눈의 곱을 $P$, 앞면이 나오는 동전의 개수를 $H$라고 해봅시다. 문제에서 원하는 조건은 $P = H$가 되는 것입니다.
- 동전은 총 4개이므로, 앞면이 나오는 개수 $H$가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, 3, 4$ 중 하나입니다.
- 주사위 2개의 눈은 각각 $1$부터 $6$까지이므로, 곱 $P$의 최솟값은 $1 \times 1 = 1$입니다. 즉, $P$는 절대 $0$이 될 수 없습니다.
따라서 $P = H$를 만족하는 가능한 값은 **$1, 2, 3, 4$** 뿐입니다. 이제 이 네 가지 경우로 나누어 확률을 구해봅시다.
2단계: 동전의 앞면이 $k$개 나올 확률 구하기
동전 4개를 던져서 앞면이 $k$개 ($k = 1, 2, 3, 4$) 나올 확률 $P(H=k)$를 구해봅시다. 동전 4개를 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 $2^4 = 16$가지입니다.
- **$k=1$일 확률**: 4개 중 1개가 앞면일 확률
$$P(H=1) = \frac{_4C_1}{16} = \frac{4}{16}$$
- **$k=2$일 확률**: 4개 중 2개가 앞면일 확률
$$P(H=2) = \frac{_4C_2}{16} = \frac{6}{16}$$
- **$k=3$일 확률**: 4개 중 3개가 앞면일 확률
$$P(H=3) = \frac{_4C_3}{16} = \frac{4}{16}$$
- **$k=4$일 확률**: 4개 중 4개가 앞면일 확률
$$P(H=4) = \frac{_4C_4}{16} = \frac{1}{16}$$
3단계: 주사위 눈의 곱이 $k$가 될 확률 구하기
주사위 2개를 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$가지입니다. 곱이 $k$ ($k = 1, 2, 3, 4$)가 되는 순서쌍 $(a, b)$를 찾아 확률 $P(P=k)$를 구해봅시다.
- **$k=1$일 때**: 곱이 1이 되는 경우 $\rightarrow (1, 1)$ (1가지)
$$P(P=1) = \frac{1}{36}$$
- **$k=2$일 때**: 곱이 2가 되는 경우 $\rightarrow (1, 2), (2, 1)$ (2가지)
$$P(P=2) = \frac{2}{36}$$
- **$k=3$일 때**: 곱이 3이 되는 경우 $\rightarrow (1, 3), (3, 1)$ (2가지)
$$P(P=3) = \frac{2}{36}$$
- **$k=4$일 때**: 곱이 4가 되는 경우 $\rightarrow (1, 4), (2, 2), (4, 1)$ (3가지)
$$P(P=4) = \frac{3}{36}$$
4단계: 각 경우의 확률을 곱하고 모두 더하기
주사위와 동전은 서로 독립이므로, 각 $k$에 대해 두 조건이 동시에 만족할 확률은 두 확률의 곱입니다. 이 값들을 모두 더해주면 최종 확률이 됩니다.
$$\text{전체 확률} = \sum_{k=1}^{4} \left[ P(P=k) \times P(H=k) \right]$$
계산해 볼까요? 분모를 $36 \times 16 = 576$으로 통분하여 계산하면 편리합니다.
- **$k=1$인 경우**:
$$\frac{1}{36} \times \frac{4}{16} = \frac{4}{576}$$
- **$k=2$인 경우**:
$$\frac{2}{36} \times \frac{6}{16} = \frac{12}{576}$$
- **$k=3$인 경우**:
$$\frac{2}{36} \times \frac{4}{16} = \frac{8}{576}$$
- **$k=4$인 경우**:
$$\frac{3}{36} \times \frac{1}{16} = \frac{3}{576}$$
이 네 가지 확률을 모두 더합니다.
$$\text{전체 확률} = \frac{4 + 12 + 8 + 3}{576} = \frac{27}{576}$$
이제 분수 $\frac{27}{576}$을 약분해 봅시다. 분자와 분모를 모두 $9$로 나누면 다음과 같습니다.
$$\frac{27 \div 9}{576 \div 9} = \frac{3}{64}$$
답
정답은 **① $\frac{3}{64}$** 입니다.
확인해보기
만약 동전을 4개가 아니라 3개만 동시에 던진다고 가정해 봅시다. 이때 주사위 눈의 곱과 앞면이 나오는 동전의 개수가 같아질 수 있는 가능한 값($k$)은 무엇무엇이 있을지 생각해보세요.