어떤 문제인가
이 문제는 주사위를 네 번 던져서 나온 눈의 수에 따라 점수를 얻고, 그 점수들의 합이 4가 되는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 조건에 따른 점수 분류: 주사위 눈의 수($1 \sim 6$)에 따라 얻게 되는 점수를 먼저 정리합니다.
- 합이 4가 되는 점수 조합 찾기: 네 번의 시행에서 나올 수 있는 점수의 조합을 빠짐없이 분류합니다.
- 같은 것이 있는 순열과 곱의 법칙: 각 점수 조합이 나오는 순서와, 각 점수에 대응하는 실제 주사위 눈의 수를 곱해 최종 경우의 수를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 주사위 눈에 따른 점수 정리하기
먼저 주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 수와 그에 따른 점수를 매칭해 봅시다.
- 3 이하의 눈이 나오면 그 눈이 곧 점수가 됩니다.
* 눈이 $1$이면 $\rightarrow$ **$1$점** (경우의 수: $1$가지)
* 눈이 $2$이면 $\rightarrow$ **$2$점** (경우의 수: $1$가지)
* 눈이 $3$이면 $\rightarrow$ **$3$점** (경우의 수: $1$가지)
- 4 이상의 눈이 나오면 0점을 얻습니다.
* 눈이 $4, 5, 6$이면 $\rightarrow$ **$0$점 (경우의 수: $3$가지**)
여기서 가장 중요한 점은 **$0$점을 얻는 주사위 눈은 $4, 5, 6$으로 총 $3$가지**라는 사실입니다. 이를 꼭 기억하고 다음 단계로 넘어갑시다!
2단계: 네 점수의 합이 4가 되는 점수 조합 찾기
네 번 던져 얻은 점수를 각각 $x_1, x_2, x_3, x_4$라고 합시다. 각 점수는 $0, 1, 2, 3$ 중 하나가 될 수 있습니다. (한 번에 $4$점을 얻을 수는 없습니다.)
이 네 점수의 합이 $4$가 되는 조합을 큰 수부터 차례대로 적어봅시다.
- 경우 (A): $\{3, 1, 0, 0\}$
- 경우 (B): $\{2, 2, 0, 0\}$
- 경우 (C): $\{2, 1, 1, 0\}$
- 경우 (D): $\{1, 1, 1, 1\}$
이제 각 경우별로 실제 주사위 눈의 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구해봅시다.
3단계: 각 경우의 수 계산하기
경우 (A) 점수 조합이 $\{3, 1, 0, 0\}$인 경우
- 점수가 나오는 순서 정하기: $3$점 $1$개, $1$점 $1$개, $0$점 $2$개를 일렬로 나열하는 경우의 수입니다. (같은 것이 있는 순열)
$$\frac{4!}{1! \times 1! \times 2!} = 12\text{가지}$$
- 각 점수에 해당하는 주사위 눈의 수 곱하기:
* $3$점은 눈 $3$ (1가지)
* $1$점은 눈 $1$ (1가지)
* $0$점은 눈 $4, 5, 6$ (각각 3가지)
$$1 \times 1 \times 3 \times 3 = 9\text{가지}$$
- 경우 (A)의 총 개수: $12 \times 9 = 108\text{가지}$
경우 (B) 점수 조합이 $\{2, 2, 0, 0\}$인 경우
- 점수가 나오는 순서 정하기: $2$점 $2$개, $0$점 $2$개를 나열하는 경우의 수입니다.
$$\frac{4!}{2! \times 2!} = 6\text{가지}$$
- 각 점수에 해당하는 주사위 눈의 수 곱하기:
* $2$점은 눈 $2$ (각각 1가지)
* $0$점은 눈 $4, 5, 6$ (각각 3가지)
$$1 \times 1 \times 3 \times 3 = 9\text{가지}$$
- 경우 (B)의 총 개수: $6 \times 9 = 54\text{가지}$
경우 (C) 점수 조합이 $\{2, 1, 1, 0\}$인 경우
- 점수가 나오는 순서 정하기: $2$점 $1$개, $1$점 $2$개, $0$점 $1$개를 나열하는 경우의 수입니다.
$$\frac{4!}{1! \times 2! \times 1!} = 12\text{가지}$$
- 각 점수에 해당하는 주사위 눈의 수 곱하기:
* $2$점은 눈 $2$ (1가지)
* $1$점은 눈 $1$ (각각 1가지)
* $0$점은 눈 $4, 5, 6$ (3가지)
$$1 \times 1 \times 1 \times 3 = 3\text{가지}$$
- 경우 (C)의 총 개수: $12 \times 3 = 36\text{가지}$
경우 (D) 점수 조합이 $\{1, 1, 1, 1\}$인 경우
- 점수가 나오는 순서 정하기: $1$점만 $4$개이므로 순서를 정하는 방법은 $1$가지입니다.
- 각 점수에 해당하는 주사위 눈의 수 곱하기:
* $1$점은 눈 $1$ (각각 1가지)
$$1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1\text{가지}$$
- 경우 (D)의 총 개수: $1 \times 1 = 1\text{가지}$
4단계: 전체 경우의 수 합산하기
모든 경우는 서로 동시에 일어날 수 없으므로(합의 법칙), 구한 값들을 모두 더합니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 108 + 54 + 36 + 1 = 199$$
답
정답은 **⑤ $199$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> [질문]
> 만약 주사위를 세 번 던져서 얻은 세 점수의 합이 **$3$**이 되는 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수는 몇 개일까요? (점수 규칙은 위 문제와 동일합니다.)
>
> *힌트: 점수 조합을 먼저 구하고, $0$점이 나오는 주사위 눈의 수가 $3$가지라는 점을 잊지 마세요!*