어떤 문제인가
이 문제는 $1$부터 $6$까지의 숫자가 적힌 $6$개의 의자를 원형으로 배열할 때, **"이웃한 두 의자의 곱이 $12$가 되지 않도록"** 배열하는 방법의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음의 핵심 개념들을 사용할 거예요.
- 원순열 (Circular Permutation): 서로 다른 것을 원형으로 배열할 때, 회전해서 같은 모양이 나오는 것을 고려하여 나열하는 방법입니다. $n$개를 원형으로 배열하는 방법의 수는 $(n-1)!$입니다.
- 여사건 (Complementary Event): "곱이 $12$가 되지 않는 경우"를 직접 구하는 것보다, **"전체 경우"에서 "곱이 $12$가 되는 경우"를 빼서** 구하는 것이 훨씬 쉽습니다.
- 합집합의 원소의 개수를 구하는 공식: 두 가지 조건이 동시에 일어나는 경우를 중복 계산하지 않도록 더하고 빼주는 논리적인 도구입니다.
단계별 풀이
1단계: 곱해서 $12$가 되는 숫자 쌍 찾기
먼저 $1$부터 $6$까지의 자연수 중에서 두 수를 곱해 $12$가 되는 쌍이 무엇인지 찾아봅시다.
- $2 \times 6 = 12$
- $3 \times 4 = 12$
즉, **$2$와 $6$이 이웃하거나, $3$과 $4$가 이웃하면** 안 됩니다.
우리는 여사건을 이용할 것이므로, 다음과 같이 사건을 정의해 봅시다.
- 전체 사건을 $U$
- $2$와 $6$이 이웃하는 사건을 $A$
- $3$과 $4$가 이웃하는 사건을 $B$
우리가 구하고자 하는 것은 $2$와 $6$도 이웃하지 않고, $3$과 $4$도 이웃하지 않는 경우의 수이므로, 기호로 나타내면 $n(A^c \cap B^c)$입니다.
집합의 성질에 의해 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$$n(A^c \cap B^c) = n(U) - n(A \cup B) = n(U) - \{ n(A) + n(B) - n(A \cap B) \}$$
이제 각각의 값을 차근차근 구해봅시다!
2단계: 전체 경우의 수 $n(U)$ 구하기
$6$개의 서로 다른 의자를 원형으로 배열하는 전체 경우의 수입니다. 원순열 공식 $(n-1)!$을 적용합니다.
$$n(U) = (6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
3단계: $2$와 $6$이 이웃하는 경우의 수 $n(A)$ 구하기
$2$와 $6$을 하나의 묶음 $[2, 6]$으로 생각합니다.
그러면 배열해야 할 대상은 $[2, 6]$, $1$, $3$, $4$, $5$로 총 $5$개가 됩니다.
- 이 $5$개의 대상을 원형으로 배열하는 방법의 수:
$$(5-1)! = 4! = 24$$
- 묶음 안에서 $2$와 $6$이 서로 자리를 바꾸는 방법의 수:
$$2! = 2$$
따라서 $n(A)$는 다음과 같습니다.
$$n(A) = 24 \times 2 = 48$$
4단계: $3$과 $4$가 이웃하는 경우의 수 $n(B)$ 구하기
3단계와 완전히 같은 방식으로 계산할 수 있습니다. $3$과 $4$를 하나의 묶음 $[3, 4]$로 생각하면 됩니다.
$$n(B) = 48$$
5단계: $2$와 $6$이 이웃하고, 동시에 $3$과 $4$도 이웃하는 경우의 수 $n(A \cap B)$ 구하기
이번에는 $[2, 6]$과 $[3, 4]$를 각각 하나의 묶음으로 생각합니다.
그러면 배열해야 할 대상은 $[2, 6]$, $[3, 4]$, $1$, $5$로 총 $4$개가 됩니다.
- 이 $4$개의 대상을 원형으로 배열하는 방법의 수:
$$(4-1)! = 3! = 6$$
- $[2, 6]$ 묶음 안에서 자리를 바꾸는 방법의 수: $2! = 2$
- $[3, 4]$ 묶음 안에서 자리를 바꾸는 방법의 수: $2! = 2$
따라서 $n(A \cap B)$는 다음과 같습니다.
$$n(A \cap B) = 6 \times 2 \times 2 = 24$$
6단계: 최종 계산하기
이제 구한 값들을 공식에 대입해 봅시다.
먼저, 이웃한 쌍이 하나라도 존재하는 경우의 수 $n(A \cup B)$는 다음과 같습니다.
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$
$$n(A \cup B) = 48 + 48 - 24 = 72$$
따라서, 이웃한 두 의자의 곱이 $12$가 되지 않도록 배열하는 경우의 수는 전체 경우에서 이 값을 뺀 것입니다.
$$n(A^c \cap B^c) = n(U) - n(A \cup B) = 120 - 72 = 48$$
답
$$48$$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
질문:
만약 $1$부터 $5$까지의 자연수가 적힌 $5$개의 의자를 원형으로 배열할 때, **"이웃한 두 의자의 곱이 $6$이 되지 않도록"** 배열하려고 합니다. 이때 이웃해서는 안 되는 숫자 쌍은 무엇이며, 이 문제를 풀기 위해 어떤 과정을 거쳐야 할지 머릿속으로 단계를 그려보세요. (답은 직접 구하지 않아도 좋습니다.)