어떤 문제인가
이 문제는 주머니에서 공을 꺼내 확인하고 다시 넣는 시행을 5번 반복할 때, 나온 다섯 개의 수의 곱이 6의 배수가 될 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- **중복순열 ($n^r$):** 꺼낸 공을 다시 넣으므로, 매번 선택할 수 있는 숫자는 항상 3개로 같습니다.
- 배수의 성질: 어떤 수들의 곱이 $6$의 배수가 되려면, 소인수분해 했을 때 $2$와 $3$을 적어도 하나씩은 가지고 있어야 합니다. 즉, 5개의 수 중에 **$2$가 적어도 하나 있고, $3$도 적어도 하나 있어야** 합니다.
- 여사건의 확률: '적어도 하나~'라는 조건이 있을 때는 직접 구하는 것보다, 반대되는 사건(여사건)의 확률을 구해서 전체($1$)에서 빼는 것이 훨씬 쉽습니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
주머니에는 $1, 2, 3$이 적힌 3개의 공이 있습니다. 공을 하나 꺼내서 확인하고 다시 넣는 시행을 5번 반복하므로, 매번 공을 꺼낼 때마다 나올 수 있는 경우의 수는 3가지입니다.
따라서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 중복순열을 이용하여 다음과 같이 구합니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243$$
2단계: '6의 배수가 되는 조건'과 그 '여사건' 분석하기
다섯 수의 곱이 $6$의 배수가 되려면, 선택된 5개의 수 중에 **$2$가 적어도 한 번 나오고, $3$도 적어도 한 번 나와야** 합니다.
이 조건의 반대(여사건)는 무엇일까요? '적어도 하나씩은 있어야 한다'의 반대는 다음과 같습니다.
- **사건 $A$:** $2$가 한 번도 나오지 않는다. (즉, $1$과 $3$으로만 이루어짐)
- **사건 $B$:** $3$가 한 번도 나오지 않는다. (즉, $1$과 $2$로만 이루어짐)
우리가 구하고자 하는 여사건은 **'$2$가 한 번도 안 나오거나(사건 $A$), $3$이 한 번도 안 나오는(사건 $B$) 경우'**입니다. 집합으로 나타내면 $A \cup B$의 경우의 수를 구하는 것이죠.
3단계: 여사건의 경우의 수 구하기
합집합의 원소의 개수를 구하는 공식 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$를 이용해 봅시다.
- **$n(A)$ 구하기 ($2$가 한 번도 나오지 않는 경우):**
사용할 수 있는 숫자가 $1$과 $3$뿐이므로, 5번 모두 이 두 숫자 중에서만 나옵니다.
$$n(A) = 2^5 = 32$$
- **$n(B)$ 구하기 ($3$이 한 번도 나오지 않는 경우):**
사용할 수 있는 숫자가 $1$과 $2$뿐이므로, 마찬가지로 계산합니다.
$$n(B) = 2^5 = 32$$
- **$n(A \cap B)$ 구하기 ($2$와 $3$이 둘 다 한 번도 나오지 않는 경우):**
$2$도 안 나오고 $3$도 안 나오려면, 오직 $1$만 5번 나와야 합니다.
$$n(A \cap B) = 1^5 = 1$$
따라서 여사건의 총 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 32 + 32 - 1 = 63$$
4단계: 원래 구하려던 확률과 $p+q$ 구하기
우리가 원하는 '곱이 $6$의 배수가 되는 경우의 수'는 전체 경우의 수에서 여사건의 경우의 수를 빼면 됩니다.
$$\text{조건을 만족하는 경우의 수} = 243 - 63 = 180$$
따라서 구하고자 하는 확률 $\frac{q}{p}$는 다음과 같습니다.
$$\frac{q}{p} = \frac{180}{243}$$
이 분수를 약분해 봅시다. 분모와 분자를 모두 $9$로 나누면,
$$\frac{180 \div 9}{243 \div 9} = \frac{20}{27}$$
$20$과 $27$은 서로소인 자연수이므로, $p = 27$, $q = 20$이 됩니다.
최종적으로 구하는 값은 $p+q$이므로,
$$p+q = 27 + 20 = 47$$
답
$$47$$
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
질문: 만약 똑같은 주머니에서 공을 4번 반복하여 꺼낼 때, 확인한 4개 수의 곱이 6의 배수가 될 확률은 얼마일까요? (위의 단계별 풀이 과정을 적용해서 스스로 계산해 보세요.)