어떤 문제인가
이 문제는 $n$이 무한히 커질 때, 지수 형태를 포함한 분수식의 극한값(등비수열의 극한)을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수법칙: $a^{n+1} = a \times a^n$을 이용하여 식을 보기 좋게 정리합니다.
- 등비수열의 극한: 공비 $r$의 절댓값이 $1$보다 작을 때($|r| < 1$), $n \to \infty$이면 $r^n \to 0$이 됩니다.
- 분모의 가장 큰 밑(base)으로 나누기: 무한대 분의 무한대($\frac{\infty}{\infty}$) 꼴의 극한에서는 분모에서 가장 영향력이 큰(밑이 가장 큰) 항으로 분자, 분모를 나누어 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 지수법칙을 이용해 식 정리하기
먼저 분자와 분모에 있는 $3^{n+1}$과 $2^{n+1}$을 지수법칙을 이용해 $3^n$과 $2^n$이 드러나도록 정리해 봅시다.
- 분자: $2 \times 3^{n+1} + 5 = 2 \times (3 \times 3^n) + 5 = 6 \times 3^n + 5$
- 분모: $3^n + 2^{n+1} = 3^n + 2 \times 2^n$
이제 원래 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{6 \times 3^n + 5}{3^n + 2 \times 2^n} $$
2단계: 분모에서 가장 밑이 큰 항 찾기
분모를 보면 $3^n$과 $2 \times 2^n$이 있습니다. 밑이 $3$인 항과 $2$인 항 중에서 $n$이 무한히 커질 때 훨씬 더 빠르게 커지는 것은 밑이 더 큰 $3^n$입니다.
따라서 분자, 분모를 분모의 가장 큰 항인 $3^n$으로 나누어 줄 것입니다.
3단계: 분자와 분모를 $3^n$으로 나누기
분자와 분모의 모든 항을 $3^n$으로 나누어 식을 변형해 봅시다.
$$ \frac{\frac{6 \times 3^n + 5}{3^n}}{\frac{3^n + 2 \times 2^n}{3^n}} = \frac{6 + \frac{5}{3^n}}{1 + 2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^n} $$
4단계: $n \to \infty$ 극한 적용하기
이제 $n$을 무한대로 보내어 각각의 항이 어떻게 변하는지 살펴봅시다.
- $\frac{5}{3^n}$은 분모가 무한히 커지므로 $0$으로 수렴합니다. ($\lim_{n \to \infty} \frac{5}{3^n} = 0$)
- $\left(\frac{2}{3}\right)^n$은 밑의 절댓값이 $1$보다 작으므로($\left|\frac{2}{3}\right| < 1$), $n$이 커질수록 $0$에 가까워집니다. ($\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$)
이 값들을 식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{5}{3^n}}{1 + 2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^n} = \frac{6 + 0}{1 + 2 \times 0} = \frac{6}{1} = 6 $$
답
**③ $6$**
확인해보기
오늘 배운 방법을 적용해서 다음 문제의 극한값을 스스로 구해볼까요? (답은 직접 계산해 보세요!)
> 질문: $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + 3^{n+1}}{2 \times 5^{n-1} + 4^n}$ 의 값은 무엇일까요?
> *(힌트: 분모에서 밑이 가장 큰 항은 무엇인지 먼저 찾아보세요!)*