어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수 사이의 관계식을 이용해 특정 삼각함수의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음 두 가지입니다.
- 탄젠트와 사인, 코사인의 관계: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- 탄젠트의 덧셈정리: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$
이 두 가지 개념을 단계별로 적용하면 복잡해 보이는 식도 쉽게 풀 수 있습니다. 함께 시작해 볼까요?
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건식에서 $\tan\alpha$의 값 구하기
문제에서 첫 번째 조건으로 $2\cos\alpha = 3\sin\alpha$를 주었습니다. 우리가 최종적으로 구해야 하는 것은 $\tan\beta$이고, 두 번째 식에는 $\tan(\alpha+\beta)$가 있으므로, 먼저 $\tan\alpha$의 값을 알아내면 좋겠네요!
탄젠트의 정의($\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$)를 이용하기 위해, 주어진 식의 양변을 $\cos\alpha$로 나누어 봅시다. (단, $\cos\alpha \neq 0$)
$$2 = 3 \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
우변의 $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$를 $\tan\alpha$로 바꾸어 쓰면 다음과 같습니다.
$$2 = 3\tan\alpha$$
양변을 $3$으로 나누면 $\tan\alpha$의 값을 구할 수 있습니다.
$$\tan\alpha = \frac{2}{3}$$
2단계: 탄젠트의 덧셈정리 적용하기
이제 두 번째 조건인 $\tan(\alpha + \beta) = 1$을 이용할 차례입니다. 탄젠트의 덧셈정리 공식을 써서 이 식을 전개해 봅시다.
$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} = 1$$
3단계: 구한 값 대입하고 $\tan\beta$ 계산하기
1단계에서 구한 $\tan\alpha = \frac{2}{3}$를 위 식에 대입해 봅시다. 계산의 편의를 위해 우리가 구하고자 하는 $\tan\beta$를 문자 $t$로 놓을게요.
$$\frac{\frac{2}{3} + t}{1 - \frac{2}{3}t} = 1$$
양변에 분모인 $(1 - \frac{2}{3}t)$를 곱해줍니다.
$$\frac{2}{3} + t = 1 - \frac{2}{3}t$$
이제 $t$가 있는 항은 좌변으로, 상수는 우변으로 모아서 정리해 봅시다. 좌변의 $t$에 우변의 $-\frac{2}{3}t$를 이항하여 더해주고, 우변의 $1$에서 좌변의 $\frac{2}{3}$를 이항하여 빼줍니다.
$$t + \frac{2}{3}t = 1 - \frac{2}{3}$$
동류항끼리 계산해 볼까요?
$$\frac{5}{3}t = \frac{1}{3}$$
양변에 $3$을 곱하면 다음과 같습니다.
$$5t = 1$$
따라서 우리가 구하고자 했던 $t$ (즉, $\tan\beta$)의 값은 다음과 같습니다.
$$t = \tan\beta = \frac{1}{5}$$
답
정답은 ② $\frac{1}{5}$ 입니다.
확인해보기
오늘 배운 공식을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 조건이 $3\cos\alpha = 4\sin\alpha$ 이고 $\tan(\alpha - \beta) = 1$ 로 바뀐다면, $\tan\beta$의 값은 어떻게 구할 수 있을까요? 식을 어떻게 세워야 할지 생각해 보세요. (힌트: 탄젠트의 뺄셈정리 공식 $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$를 사용합니다.)