어떤 문제인가
이 문제는 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선에서 접선의 기울기인 $\frac{dy}{dx}$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 매개변수 함수의 미분법: $x$와 $y$가 각각 $t$에 대한 함수로 주어졌을 때, $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ (단, $\frac{dx}{dt} \neq 0$) 공식을 이용합니다.
- 지수함수의 미분: $e^t$와 $e^{-t}$를 $t$에 대해 미분하는 방법을 알아야 합니다.
- 로그의 성질: $e^{\ln a} = a$ 성질을 이용하여 값을 단순화합니다.
단계별 풀이
1단계: $x$와 $y$를 각각 매개변수 $t$에 대해 미분하기
$\frac{dy}{dx}$를 구하기 위해, 먼저 $x$와 $y$를 각각 $t$로 미분한 $\frac{dx}{dt}$와 $\frac{dy}{dt}$를 구해야 합니다.
- **$x = e^t - 4e^{-t}$ 미분하기:**
합성함수의 미분법(또는 속미분)을 적용하면, $(e^{-t})' = -e^{-t}$가 됩니다.
$$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t - 4e^{-t}) = e^t - 4(-e^{-t}) = e^t + 4e^{-t}$$
- **$y = t + 1$ 미분하기:**
$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t + 1) = 1$$
2단계: 매개변수 미분 공식에 대입하여 $\frac{dy}{dx}$ 구하기
이제 구한 도함수들을 매개변수 미분 공식에 대입하여 $\frac{dy}{dx}$를 $t$에 대한 식으로 나타냅니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{1}{e^t + 4e^{-t}}$$
3단계: $t = \ln 2$ 대입하여 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 것은 $t = \ln 2$일 때의 값이므로, 위 식에 $t = \ln 2$를 대입합니다.
이때 로그의 성질을 이용해 지수 부분을 먼저 정리해 봅시다.
- $e^{\ln 2} = 2$
- $e^{-\ln 2} = e^{\ln(2^{-1})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
이 값들을 분모에 대입합니다.
$$\frac{dx}{dt}\Big|_{t=\ln 2} = e^{\ln 2} + 4e^{-\ln 2} = 2 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 2 = 4$$
따라서 구하고자 하는 $\frac{dy}{dx}$의 값은 다음과 같습니다.
$$\frac{dy}{dx}\Big|_{t=\ln 2} = \frac{1}{4}$$
답
**④ $\frac{1}{4}$**
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> 질문: 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $x = t^2$, $y = t^3 - 3t$가 있습니다. $t = 2$일 때, 이 곡선의 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$의 값은 얼마일까요? (직접 종이에 풀어서 확인해 보세요!)