어떤 문제인가
이 문제는 입체도형의 부피를 구하는 문제입니다. 입체도형을 칼로 얇게 썬 단면들을 차곡차곡 쌓아서 전체 부피를 구한다고 생각하면 쉬워요.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 입체도형의 부피와 정적분: $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S(x)$라고 할 때, $x=a$부터 $x=b$까지의 입체도형의 부피 $V$는 단면의 넓이를 정적분하여 구합니다.
$$V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx$$
- 정사각형의 넓이: 단면이 정사각형이므로, 한 변의 길이를 $y$라고 하면 단면의 넓이는 $S(x) = y^2$이 됩니다.
- 분수함수의 부정적분: $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ 와 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ 공식을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 임의의 지점 $x$에서의 단면의 넓이 $S(x)$ 구하기
문제에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형이라고 했습니다.
이 정사각형의 한 변의 길이는 $x$에서의 곡선의 $y$값과 같습니다.
즉, 한 변의 길이 $s(x)$는 다음과 같습니다.
$$s(x) = \sqrt{\frac{3x+1}{x^2}}$$
단면은 정사각형이므로, 단면의 넓이 $S(x)$는 한 변의 길이를 제곱한 것입니다.
$$S(x) = \{s(x)\}^2 = \left(\sqrt{\frac{3x+1}{x^2}}\right)^2 = \frac{3x+1}{x^2}$$
2단계: 부피를 구하기 위한 정적분 식 세우기
구하고자 하는 입체도형은 $x=1$부터 $x=2$까지 존재하므로, 이 구간 동안 단면의 넓이 $S(x)$를 모두 더해줍니다(적분합니다).
$$V = \int_{1}^{2} S(x) \, dx = \int_{1}^{2} \frac{3x+1}{x^2} \, dx$$
3단계: 정적분 계산하기
피적분함수를 적분하기 쉬운 형태로 나누어 써봅시다.
$$\frac{3x+1}{x^2} = \frac{3x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{3}{x} + x^{-2}$$
이제 각각을 적분해 봅시다.
- $\int \frac{3}{x} \, dx = 3\ln|x|$
- $\int x^{-2} \, dx = \frac{1}{-2+1}x^{-2+1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$
따라서 정적분 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$V = \left[ 3\ln x - \frac{1}{x} \right]_{1}^{2}$$
위끝 $2$와 아래끝 $1$을 대입하여 계산해 봅시다.
$$V = \left( 3\ln 2 - \frac{1}{2} \right) - \left( 3\ln 1 - \frac{1}{1} \right)$$
여기서 $\ln 1 = 0$이므로,
$$V = \left( 3\ln 2 - \frac{1}{2} \right) - (0 - 1)$$
$$V = 3\ln 2 - \frac{1}{2} + 1$$
$$V = \frac{1}{2} + 3\ln 2$$
답
**② $\frac{1}{2} + 3\ln 2$**
확인해보기
만약 이 입체도형의 단면이 정사각형이 아니라, $x$축에 수직인 선분을 한 변으로 하는 정삼각형이었다면 단면의 넓이 식 $S(x)$는 어떻게 바뀌었을까요? (힌트: 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$입니다.)