어떤 문제인가
이 문제는 매년 수능에 자주 출제되는 도형을 이용한 무한등비급수 문제입니다. 매 단계마다 일정한 비율로 축소되는 도형이 반복해서 그려지므로, 우리는 다음 두 가지만 구하면 문제를 해결할 수 있습니다.
- **첫 번째 도형의 넓이 ($S_1$)**: 처음 색칠된 $\bowtie$ 모양의 넓이
- **공비 ($r$): 첫 번째 직사각형과 두 번째 직사각형의 닮음비를 구한 뒤, 이를 제곱하여 넓이비**를 구함
이 두 가지를 구하기 위해 삼각비, 좌표평면을 이용한 직선의 방정식, 그리고 무한등비급수의 합 공식 $S = \frac{a}{1-r}$을 사용할 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 좌표평면 도입하기
도형의 복잡한 길이와 교점의 위치를 가장 정확하고 쉽게 구하는 방법은 좌표평면을 사용하는 것입니다.
점 $B_1$을 원점 $(0,0)$으로 잡고, 직사각형 $AB_1C_1D_1$의 꼭짓점들을 좌표로 나타내 봅시다.
- $B_1 = (0,0)$
- $C_1 = (2,0)$
- $D_1 = (2,1)$
- $A = (0,1)$
2단계: 점 $E_1, F_1, G_1$의 좌표 구하기
$\angle AD_1C_1 = 90^\circ$를 삼등분하므로, 각 선분이 이루는 각도는 각각 $30^\circ$씩입니다.
선분 $C_1D_1 = 1$이므로 직각삼각형 $D_1C_1F_1$과 $D_1C_1E_1$에서 삼각비를 이용해 길이를 구합니다.
- $\angle C_1D_1F_1 = 30^\circ$ 이므로,
$$\overline{C_1F_1} = \overline{C_1D_1} \times \tan 30^\circ = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
따라서 점 $F_1$의 좌표는 $C_1(2,0)$에서 왼쪽으로 $\frac{\sqrt{3}}{3}$만큼 간 곳이므로,
$$F_1 = \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 0\right)$$
- $\angle C_1D_1E_1 = 60^\circ$ 이므로,
$$\overline{C_1E_1} = \overline{C_1D_1} \times \tan 60^\circ = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$$
따라서 점 $E_1$의 좌표는,
$$E_1 = (2 - \sqrt{3}, 0)$$
- 이제 두 점 사이의 거리 $\overline{E_1F_1}$을 구하면,
$$\overline{E_1F_1} = \overline{C_1E_1} - \overline{C_1F_1} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
- 문제에서 $\overline{E_1F_1} = \overline{F_1G_1}$이고 $\angle E_1F_1G_1 = 90^\circ$라 했습니다. $F_1G_1$은 $x$축에 수직이므로, 점 $G_1$의 $y$좌표는 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$이 됩니다.
$$G_1 = \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$
3단계: 교점 $H_1$의 좌표와 첫 번째 넓이 $S_1$ 구하기
선분 $E_1D_1$과 선분 $F_1G_1$이 만나는 점이 $H_1$입니다. 두 직선의 방정식을 세워 교점을 구해봅시다.
- **직선 $E_1D_1$**: 두 점 $E_1(2-\sqrt{3}, 0)$과 $D_1(2,1)$을 지납니다.
$$\text{기울기} = \frac{1 - 0}{2 - (2-\sqrt{3})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\text{직선의 방정식: } y = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 2 + \sqrt{3})$$
- **직선 $F_1G_1$**: $x$축에 수직인 직선이므로,
$$x = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
- 두 식을 연립하여 교점 $H_1$의 $y$좌표를 구합니다.
$$y = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(2 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 + \sqrt{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2}{3}$$
따라서, $H_1 = \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right)$ 입니다.
이제 색칠된 두 삼각형의 넓이를 각각 구합니다.
- **삼각형 $G_1E_1H_1$의 넓이**:
- 밑변을 $\overline{G_1H_1}$로 잡으면, 길이는 두 점의 $y$좌표 차이입니다.
$$\overline{G_1H_1} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{3}-2}{3}$$
- 높이는 점 $E_1$에서 직선 $F_1G_1$까지의 수평 거리이므로 $\overline{E_1F_1} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$입니다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \frac{2\sqrt{3}-2}{3} \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{6-2\sqrt{3}}{9}$$
- **삼각형 $H_1F_1D_1$의 넓이**:
- 밑변을 $\overline{F_1H_1}$로 잡으면, 길이는 $H_1$의 $y$좌표인 $\frac{2}{3}$입니다.
- 높이는 점 $D_1$에서 직선 $F_1G_1$까지의 수평 거리이므로 $2 - \left(2-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$입니다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9}$$
따라서 첫 번째 도형의 넓이 $S_1$은 두 넓이의 합입니다.
$$S_1 = \frac{6-2\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{6-\sqrt{3}}{9}$$
4단계: 닮음비와 공비 $r$ 구하기
두 번째 직사각형 $AB_2C_2D_2$의 세로 길이를 $x$라고 하면, 가로 길이는 $2x$가 됩니다.
이 직사각형의 꼭짓점들의 좌표를 $x$로 나타내 봅시다.
- $A = (0,1)$
- $B_2 = (0, 1-x)$
- $D_2 = (2x, 1)$
- $C_2 = (2x, 1-x)$
점 $C_2$는 선분 $E_1G_1$ 위에 있어야 합니다. 직선 $E_1G_1$의 방정식을 구해봅시다.
- 두 점 $E_1(2-\sqrt{3}, 0)$과 $G_1\left(2-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$을 지나는 직선:
$$\text{기울기} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3} - 0}{\left(2-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) - (2-\sqrt{3})} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = 1$$
$$\text{직선의 방정식: } y = 1 \cdot (x - 2 + \sqrt{3}) \implies y = x - 2 + \sqrt{3}$$
점 $C_2(2x, 1-x)$를 이 직선의 방정식에 대입합니다.
$$1-x = 2x - 2 + \sqrt{3}$$
$$3x = 3 - \sqrt{3} \implies x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
첫 번째 직사각형의 세로 길이가 $1$이었으므로, 닮음비 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = \frac{x}{1} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
따라서 넓이의 비인 공비 $r$은 닮음비의 제곱입니다.
$$r = k^2 = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4-2\sqrt{3}}{3}$$
5단계: 무한등비급수 계산하기
이제 공식 $S = \frac{S_1}{1-r}$에 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$1-r = 1 - \frac{4-2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}-1}{3}$$
$$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{\frac{6-\sqrt{3}}{9}}{\frac{2\sqrt{3}-1}{3}} = \frac{6-\sqrt{3}}{3(2\sqrt{3}-1)}$$
분모를 유리화하기 위해 분자, 분모에 $2\sqrt{3}+1$을 곱해줍니다.
$$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{(6-\sqrt{3})(2\sqrt{3}+1)}{3(12-1)} = \frac{12\sqrt{3} + 6 - 6 - \sqrt{3}}{33} = \frac{11\sqrt{3}}{33} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
답
**③ $\frac{\sqrt{3}}{3}$**
확인해보기
만약 새로 그려지는 직사각형 $AB_2C_2D_2$의 가로와 세로의 비율이 $1:2$가 아니라, 가로와 세로의 길이가 같은 정사각형($1:1$ 비율)이었다면 닮음비 $k$를 구하기 위해 점 $C_2$의 좌표를 어떻게 설정해야 할까요? 스스로 식을 세워보세요!